∴P（3，）．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大． 设N点的横坐标为t，此时点N（t，t﹣
2
t+4）（0＜t＜5），
如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，
由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4， 把x=t代入得：y=﹣t+4，则G（t，﹣t+4）， 此时：NG=﹣t+4﹣（t﹣∵AD+CF=CO=5，
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AD×NG+NG×CF=NG?OC=×（﹣t+4t）×5=﹣2t+10t=﹣2（t﹣）+
2
2
2
2
t+4）=﹣t+4t，
2
，
，
∴当t=时，△CAN面积的最大值为由t=，得：y=t﹣∴N（，﹣3）．
2
t+4=﹣3，
【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用．
15．（2015?阜新）如图，抛物线y=﹣x+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．
2
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【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；
2
（2）设P点坐标为（x，﹣x﹣2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D
2
点坐标为（x，x+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．
2
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x+bx+c，得
，
解得
．
2
故该抛物线的解析式为：y=﹣x﹣2x+3．
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x﹣2x+3，则易得B（1，0）． ∵S△AOP=4S△BOC，
∴×3×|﹣x﹣2x+3|=4××1×3．
整理，得（x+1）=0或x+2x﹣7=0， 解得x=﹣1或x=﹣1±2． 则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2
（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入， 得解得
．
，
2
2
2
2
，﹣4）；
即直线AC的解析式为y=x+3．
2
设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x﹣2x+3）， QD=（﹣x﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x﹣3x=﹣（x+）+， ∴当x=﹣时，QD有最大值．
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2
2
2
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．
16．（2015?内江）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积S与t的函数关系式；
（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．
【考点】二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质． 【专题】压轴题．
2
【分析】（1）可设抛物线的解析式为y=ax+bx+c，然后只需运用待定系数法就可解决问题；
（2）当﹣＜t＜2时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；
（3）根据相似三角形的性质可得PN=2PO．由于PO=
，需分﹣＜t＜0和0＜t＜2两种
情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可解决问题．
2
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax+bx+c，由题可得：
，
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解得：，
∴抛物线的函数关系式为y=﹣x+x+1；
（2）当﹣＜t＜2时，yN＞0， ∴NP=|yN|=yN=﹣t+t+1， ∴S=AB?PN
=×（2+）×（﹣t+t+1） =（﹣t+t+1） =﹣t+
2
2
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2
t+；
（3）∵△OPN∽△COB， ∴∴
==
， ，
∴PN=2PO．
①当﹣＜t＜0时，PN=∴﹣t+t+1=﹣2t， 整理得：3t﹣9t﹣2=0， 解得：t1=∵∴t=
，t2=
＞0，﹣＜
． ＜0，
，
=t，
）；
22
=yN=﹣t+t+1，PO=
2
=﹣t，
，此时点N的坐标为（
2
②当0＜t＜2时，PN=∴﹣t+t+1=2t， 整理得：3t﹣t﹣2=0，
22
=yN=﹣t+t+1，PO=
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解得：t3=﹣，t4=1． ∵﹣＜0，0＜1＜2，
∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）． 综上所述：点N的坐标为（
，
）或（1，2）．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，需要注意的是：用点的坐标表示相关线段的长度时，应先用坐标的绝对值表示线段的长度，然后根据坐标的正负去绝对值；解方程后要检验，不符合条件的解要舍去．
17．（2015?宁德）已知抛物线y=x+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；
（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标．
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【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）直接将A，C点坐标代入抛物线解析式求出即可；
（2）首先求出B点坐标，进而利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而利用CO，BO的长求出∠ABC的度数； （3）利用∠ACB=∠PAB，结合相似三角形的判定与性质得出BP的长，进而得出P点坐标． 【解答】解：（1）将点A的坐标（﹣1，0），点C的坐标（0，﹣3）代入抛物线解析式得：
，
解得：，
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故抛物线解析式为：y=x﹣2x﹣3；
（2）由（1）得：0=x﹣2x﹣3，
解得：x1=﹣1，x2=3，故B点坐标为：（3，0）， 设直线BC的解析式为：y=kx+d，
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