∴即=
=， ，
∴点P1（0，）．
若P点在x轴上，则∠PCA=90°，如图3，过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，
∵Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCM， ∴
=
，
即=
，AP2=10，
∴点P2（9，0）．
∴符合条件的点有三个：O（0，0），P1（0，），P2（9，0）．
【点评】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识，（3）题中能够发现点O是符合要求的P点，是解决此题的突破口．
20．（2015?广元）如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧． （1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，解答下列问题： ①求出△ABC的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；
（3）在第四现象内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
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【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）把C坐标代入抛物线解析式求出m的值即可；
（2）①对于抛物线解析式，令y=0求出x的值，确定出A与B坐标；令x=0，求出y的值，确定出C坐标，求出三角形ABC面积即可；
②如图1，连接BC交对称轴于点H，由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小，利用待定系数法求出直线BC解析式，与抛物线对称轴联立求出H坐标即可；
（3）在第四现象内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，分两种情况考虑：（i）当△ACB∽△ABM时；（ii）当△ACB∽△MBA时，利用相似三角形的判定与性质，确定出m的值即可． 【解答】解：（1）∵抛物线过G（2，2），
∴把G坐标代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m）， 解得：m=4；
（2）①令y=0，得到﹣（x+2）（x﹣m）=0， 解得：x1=﹣2，x2=m， ∵m＞0，
∴A（﹣2，0），B（m，0）， 把m=4代入得：B（4，0）， ∴AB=6，
令x=9，得到y=2，即C（0，2）， ∴OC=2，
则S△ABC=×6×2=6； ②∵A（﹣2，0），B（4，0），
∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）的对称轴为x=1，
如图1，连接BC交对称轴于点H，由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小， 设直线BC的解析式为y=kx+b， 把B与C坐标代入得：
，
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解得：，
∴直线BC解析式为y=﹣x+2， 令x=1，得到y=，即H（1，）；
（3）在第四现象内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，
分两种情况考虑：
（i）当△ACB∽△ABM时，则有
=
，即AB=AC?AM，
2
∵A（﹣2，0），C（0，2），即OA=OC=2， ∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，
如图2，过M作MN⊥x轴，交x轴于点N，则AN=MN， ∴OA+ON=2+ON=MN， 设M（x，﹣x﹣2）（x＞0）， 把M坐标代入抛物线解析式得：﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m）， ∵x＞0，∴x+2＞0，
∵m＞0，∴x=2m，即M（2m，﹣2m﹣2）， ∴AM=
2
=2（m+1），
∵AB=AC?AM，AC=2，AB=m+2，
2
∴（m+2）=2?2（m+1）， 解得：m=2±2， ∵m＞0，
∴m=2+2；
（ii）当△ACB∽△MBA时，则
=
，即AB=CB?MA，
2
∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°， ∴△ANM∽△BOC， ∴
=
，
∵OB=m，设ON=x， ∴
=，即MN=（x+2），
令M（x，﹣（x+2））（x＞0），
把M坐标代入抛物线解析式得：﹣（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m）， ∵x＞0，∴x+2＞0，
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∵m＞0，∴x=m+2，即M（m+2，﹣（m+4））， ∵AB=CB?MA，CB=
2
，AN=m+4，MN=（m+4），
∴（m+2）2=?，
整理得：=0，显然不成立，
+2时，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的
综上，在第四象限内，当m=2三角形与△ACB相似．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
21．（2015?赤峰）已知二次函数y=ax+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． （1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2
【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．
2
【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y=ax+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
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（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
2
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3）， ∴根据题意，得
，
解得，
2
∴抛物线的解析式为y=﹣x+2x+3．
（2）由y=﹣x+2x+3得，D点坐标为（1，4）， ∴CD=BC=BD=
2
2
2
2
=
=3
，
=2
2
，
，
2
2
∵CD+BC=（）+（3）=20，BD=（2）=20，
222
∴CD+BC=BD，
∴△BCD是直角三角形；
（3）存在．
2
y=﹣x+2x+3对称轴为直线x=1． ①若以CD为底边，则P1D=P1C，
22222
设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C=x+（3﹣y），P1D=（x﹣1）+（4﹣y）2，
2222因此+（3﹣y）=（x﹣1）+（4﹣y）， 即y=4﹣x．
又P1点（x，y）在抛物线上，
2
∴4﹣x=﹣x+2x+3，
2
即x﹣3x+1=0， 解得x1=∴x=∴y=4﹣x=即点P1坐标为（
，
，
，
）．
，x2=
＜1，应舍去，
②若以CD为一腰，
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x=1对称， 此时点P2坐标为（2，3）． ∴符合条件的点P坐标为（
，
）或（2，3）．
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