当a?1时，当y?0时，FY?y??P?Y?y??0，fY?y??dFY?y??0 dy当y?0时，FY?y??P?X???lny??lny?????? lna?lna??lny??)2?lna22?(fY?y??
dFY?y?11??edyylna?2?
五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为：
X Y -1 a 0.14 0.01 0.12 0 0 b 0.02 0.13 1 0 0 0.03 0.14 2 0 0 0 0.15 -2 -1 0 1 已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。 解：（1）E(X+Y)=
E?X?Y???3a?2?0.14?b?1?0.01?1?0.03?1?0.13?2?0.14?3?0.15??3a?b?0.6?0
a?0.14?b?0.01?0.02?0.03?0.12?0.13?0.14?0.15?a?b?0.74?1
联立解得：a?0.17，b?0.09 （2）X的概率分布函数：
X -2 0.17 -1 0.23 0 0.06 1 0.54 （3）E(XY)＝2?0.17?1?0.14?1?0.12?1?0.14?2?0.15?0.8
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六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？
?m??p?0.1??0.95，因?n?m?pn~?N?0,1? p?1?p?n解：P??m?n?p?P???p?1?p??n?2?0.1????0.95，
p?1?p???n?0.1p?1?p?n?u0.975?1.96
n??19.6?p?1?p?；因为p?1?p??1/4，取n??19.6?/4=96.04即n?97
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七、（10分）
设二维随机变量(X,Y)在区域：?0?x?a,0?y?b?上服从均匀分布。（1）求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知（3）判断随机变量X与Y是否相互DX?12,DY?36，求参数a、b；独立？
解：（1）二维随机变量(X,Y)的联合概率密度：
?1/ab,0?x?a,0?y?b f(x,y)??others?0,?1/a,0?x?a?1/b,0?y?b边缘概率密度：fX(x)??，fY(y)??
0,others0,others??（2）DX?(1/12)a2?12,DY?(1/12)b2?36，a?12,b?123 （3）随机变量X与Y相互独立，因为f(x,y)?fX(x)fY(y)
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八、（8分）证明：如果E|?|3?c存在，则P(|?|?t)?c 3t|x|3|x|3E|?|3c解： P(|?|?t)??dF(x)??3dF(x)??3dF(x)?3?3
tt|x|?t|x|?tt|x|?0t
九、（12分）设（X，Y）的密度函数为
?Axy,0?x?1,0?y?1 f(x,y)??0其他?求（1）常数A；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）EetX?sY；（4）EX，DX，Cov(X，Y)。
11A??＝1，A＝4 f(x,y)dxdy?Axydydx????0??0??????40.41（2）P(X<0.4，Y<1.3)＝?0???04xydy??dx?0.16
????yesy?111?111tX?sYtx?sytxsy??dx ???（3）Ee????e4xydy?dx??e4x??edy?00?00????s?s??0??解：（1）??????eses1??etet1??4??s?s2?s2????t?t2?t2?? ????223（4）EX??0???04xydy??dx?，EX??0???04xydy??dx?
11???111414222? DX?EX2??EX????，E?XY????4xydydx????00??2999422Cov?X,Y??EXY?EX?EY????0
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?231112十、（8分） 电视台有一节目“幸运观众有奖答题”：有两类题目，A
类题答对一题奖励1000元，B类题答对一题奖励500元。答错无奖励，并带上前面得到的钱退出；答对后可继续答题，并假设节目可无限进行下去（有无限的题目与时间），选择A、B类型题目分别由抛硬币的正、反面决定。
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已知某观众A类题答对的概率都为0.4，答错的概率都为0.6；B类题答对的概率都为0.6，答错的概率都为0.4。
（1）求该观众答对题数的期望值。 （2）求该观众得到奖励金额的期望值。
解：（1）设?表示该观众答对题数，??0,1,2,? 则第?+1次解答答错（即首次出错）。 答对一题的概率为
P?答对题??P答对A题选择A题P?选择A题?＋P答对B题选择B题P?选择B题?＝0.4?0.5?0.6?0.5?0.5答错一题的概率为0.5 所以P(??k)?0.5?0.5?0.5kk?1????
；E???k?0.5k?1?1
k?0?（2）观众得到奖励金额?的期望值：
?1,答对A题23??1?令X??2，答对B题，则X~??0.20.30.5??，
???3，答错题?E??E(E(?|X))=0.2?E(1000??)?0.3?E(500??)?0.5?0 ?E??700
或：答对一题得到奖金的期望为：0.5?0.4?1000?0.5?0.6?500?350 进入第k题答题环节的概率为：0.5k?1 因此，总奖金的期望为：?350?0.5k?1?700
k?1?……线…………………………………… 座位号 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！
华南理工大学期末考试
《概率论与数理统计》试卷A卷
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（2学分用）
注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 可使用计算器，解答就答在试卷上； 3．考试形式：闭卷；
4. 本试卷共九大题，满分100分。考试时间120分钟。
题 号 得 分 评卷人 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 22分位数值：u0.995?2.58，?0.975?9??19，?0.025?9??2.70
一、（10分）有位同学去某校宿舍楼A看望他老乡，此楼只有编号1～9的九个寝室，但他到学生宿舍楼下时忘记了老乡寝室号码。学校管理规定：要求访问者说出两个寝室号码，其中有一个正确就能进入，否则不能进入。问此同学能进入此大楼的概率？
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