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1.2 教材第一章习题解答
1. 用单位脉冲序列?(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 解：
x(n)??(n?4)?2?(n?2)??(n?1)?2?(n)??(n?1)?2?(n?2)?4?(n?3) ?0.5?(n?4)?2?(n?6)
?2n?5,?4?n??1?x(n)??6,0?n?4??0,其它2. 给定信号：
（1）画出x(n)序列的波形，标上各序列的值；
（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； （3）令（4）令（5）令
x1(n)?2x(n?2)x2(n)?2x(n?2)x3(n)?2x(2?n)，试画出x1(n)波形； ，试画出，试画出
x2(n)x3(n)波形； 波形。
解：
（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2）
x(n)??3?(n?4)??(n?3)??(n?2)?3?(n?1)?6?(n) ?6?(n?1)?6?(n?2)?6?(n?3)?6?(n?4)
（3）
x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）
所示。 （4）
x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）
所示。 （5）画
x3(n)时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3x(n)波形如题2解图（四）
所示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
3?x(n)?Acos(?n?)78，A（1）
是常数；
（2）x(n)?e解：
1j(n??)8。
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（1）
w?37?,2?w?143，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；
（2）
w?12?,?16?8w，这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)?x(n)?2x(n?1)?3x(n?2)； （3）y(n)?x(n?n0)，n0为整常数； （5）
y(n)?x2(n)；
ny(n)?x(m)（7）?m?0。
解： （
1
）
令
：输
入
为
x(n?n0)，
输
出
y'(?n)0?x(n?)n02?x(?n0?n1)?3x?(ny(?n0)?n(0?xn)?n20?(x?n'01
?n)3?x(?故该系统是时不变系统。
y(n)?T[ax1(n)?bx2(n)] ?ax1(n)?bx2(n)?2(ax1(n?1)?bx2(n?1))?3(ax1(n?2)?bx2(n?2))
T[ax1(n)]?ax1(n)?2ax1(n?1)?3ax1(n?2) T[bx2(n)]?bx2(n)?2bx2(n?1)?3bx2(n?2)
T[ax1(n)?bx2(n)]?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]
故该系统是线性系统。
（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。 '令输入为
x(n?n1)，输出为
y(n)?x(n?n1?n0)，因为
y(n?n'1)?x(n?n1?n0)?y(n)
故延时器是一个时不变系统。又因为
T[ax1(n)?bx2(n)]?ax1(n?n0)?bx2(n?n0)?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]
故延时器是线性系统。
为
2nn?n2))y(大学生校园网—VvSchool.CN 努力打造大学生最实用的网络平台！
（5） 令：输入为
x(n?n0)2y(n)?x(n)
22，输出为
'y(n)?x(n?n0)'，因为
y(n?n0)?x(n?n0)?y(n)
2故系统是时不变系统。又因为
T[ax1(n)?bx2(n)]?(ax1(n)?bx2(n))22 ?aT[x1(n)]?bT[x2(n)] ?ax1(n)?bx2(n)
n因此系统是非线性系统。
y(n)?（7）
n?x(m)m?0
令：输入为
y(n?n0)?x(n?n0)y(n)?'，输出为
'?x(m?nm?00)，因为
n?n0?m?0x(m)?y(n)
n故该系统是时变系统。又因为
T[ax1(n)?bx2(n)]??(ax(m)?bx1m?02(m))?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]
故系统是线性系统。
6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
y(n)?1NN?1（1）
y(n)??x(n?k)k?0；
n?n0（3）（5）解：
?k?n?n0x(n)x(k)；
y(n)?e。
（1）只要N?1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果
x(n)?M，则
y(n)?Mn?n0，因此系统是稳定系统。
（3）如果
x(n)?My(n)?，
?k?n?n0x(k)?2n0?1M，因此系统是稳定的。系统
是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.
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（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果则
y(n)?ex(n)x(n)?M，
?ex(n)?eM，因此系统是稳定的。
7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出输出输出y(n)的波形。 解：
解法（1）:采用图解法
?y(n)?x(n)?h(n)??x(m)h(n?m)m?0
图解法的过程如题7解图所示。
解法（2）:采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:
x(n)???(n?2)??(n?1)?2?(n?3)h(n)?2?(n)??(n?1)?12?(n?2)
x(n)*?(n)?x(n)因为 x(n)*A?(n?k)?Ax(n?k)
y(n)?x(n)*[2?(n)??(n?1)? ?2x(n)?x(n?1)?1212?(n?2)]所以
x(n?2)
将x(n)的表达式代入上式，得到
y(n)??2?(n?2)??(n?1)?0.5?(n)?2?(n?1)??(n?2) ?4.5?(n?3)?2?(n?4)??(n?5)
8. 设线性时不变系统的单位取样响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。 （1）（2）（3）解：
?h(n)?R4(n),x(n)?R5(n)；
；
h(n)?2R4(n),x(n)??(n)??(n?2)h(n)?0.5u(n),xn?R5(n)n。
y(n)?x(n)*h(n)?（1）
?m???R4(m)R5(n?m)
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先确定求和域，由R4(m)和R5(n?m)确定对于m的非零区间如下：
0?m?3,n?4?m?n
根据非零区间，将n分成四种情况求解： ①n?0,y(n)?0
n0?n?3,y(n)?②
4?n?7,y(n)??1?n?1m?03
③
④7?n,y(n)?0 最后结果为
?m?n?41?8?n
?0, n?0,n?7?y(n)??n?1, 0?n?3?8?n, 4?n?7?
y(n)的波形如题8解图（一）所示。 （2）
y(n)?2R4(n)*[?(n)??(n?2)]?2R4(n)?2R4(n?2) ?2[?(n)??(n?1)??(n?4)??(n?5)]
y(n)的波形如题8解图（二）所示. （3）
y(n)?x(n)*h(n)?? ??m???R5(m)0.5n?mu(n?m)?0.5n?m???R5(m)0.5?mu(n?m)
y(n)对于m的非零区间为0?m?4,m?n。 ①n?0,y(n)?0
n0?n?4,y(n)?0.5n②
4?0.5m?0?m?m?1?0.5?n?1?11?0.5?5?10.5??(1?0.5n?n?1)0.5?2?0.5nn
n5?n,y(n)?0.5n③
n?0.5m?0?1?0.51?0.50.5?31?0.5n
最后写成统一表达式：
y(n)?(2?0.5)R5(n)?31?0.5u(n?5)n