大学生校园网—VvSchool.CN 努力打造大学生最实用的网络平台！
c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,
x(n)??Res[F(z),2]?2n,
最后得到
x(n)?2?nu(n)?2u(?n?1)?2n?n
（2（当收敛域
n?0,c
z?2时，
内有极点0.5,2,
x(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]
?0.5?n?3?zn2(z?0.5)(z?2)(z?2)z?2nn ?0.5?2
n?0,c
内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是
c外没有极点,因此x(n)?0, 最后得到
x(n)?(0.5?2)u(n)nn
n25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为
x(n)?au(n),h(n)?bu(n),0?a?1,0?b?1n，
试：
（1）用卷积法求网络输出y(n)； （2）用ZT法求网络输出y(n)。 解：
（1）用卷积法求y(n)
?y(n)?h(n)?x(n)??m???bu(m)amn?mu(n?m)，n?0,
n?1nnn?my(n)??am?0bm?an?am?0?mbm?an1?a?n?1b1?ab?1?an?1?bn?1a?b，n?0，y(n)?0
最后得到
y(n)?an?1?bn?1a?bu(n)
（2）用ZT法求y(n)
大学生校园网—VvSchool.CN 努力打造大学生最实用的网络平台！
X(z)?11?az?1,H(z)?11?bz?1
?1Y(z)?X(z)H(z)?1?1?az??1?bz?
?1y(n)?12???Y(z)zjcn?1n?1dz
z?1n?1?1F(z)?Y(z)z?令
n?0?1?az??1?bz??zn?1(z?a)(z?b)
,c内有极点a,b
an?1y(n)?Res[F(z),a]?Res[F(z),b]?a?b?bn?1b?a?an?1?bn?1a?b
因为系统是因果系统，n?0,y(n)?0，最后得到
y(n)?an?1?bn?1a?bu(n)
28. 若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：
HR(ejw)?1?acosw1?a?2acosw2,a?1
jw求序列h(n)及其傅里叶变换H(e解：
HR(ejw)。
)?1?acosw1?a?2acosw?12?1?0.5a(e2jwjw?e?jw))
1?a?a(e1?0.5a(e?1jw?e?jwHR(z)?1?0.5a(z?z)1?a?a(z?z)2?1??e?jw)(1?az)(1?az)
he(n)求上式IZT，得到序列h(n)的共轭对称序列
he(n)?12?。
??jcHR(z)zn?1dz
2F(z)?HR(z)zn?1??0.5az?z?0.5a?a(z?a)(z?a)he(n)?1zn?1
a?z?a?1因为
h(n)是因果序列，必定是双边序列，收敛域取：。
大学生校园网—VvSchool.CN 努力打造大学生最实用的网络平台！
n?1时，c内有极点a,
?0.5az?z?0.5a?a(z?a)(z?a)?12he(n)?Res[F(z),a]?zn?1(z?a)z?a?12an
n=0时，c内有极点a,0，
F(z)?HR(z)zn?1??0.5az?z?0.5a?a(z?a)(z?a)?12z?1
所以
he(n)?Res[F(z),a]?Res[F(z),0]?1
又因为
he(n)?he(?n)
所以
?1,n?0?nhe(n)??0.5a,n?0??n?0.5a,n?0
?1,n?0??he(n),n?0?n??nh(n)??2he(n),n?0??a,n?0??au(n)?0,n?0?0,n?0?????
H(ejw)??n?0aen?jwn?11?ae?jw
3.2 教材第三章习题解答
1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间0?n?N?1内,序列定义为 （2）x(n)??(n)； （4）
x(n)?Rm(n),0?m?N2?N；
（6）（8）
x(n)?cos(nm),0?m?N；
x(n)?sin(w0n)?RN(n)；
（10）解：
x(n)?nRN(n)。
大学生校园网—VvSchool.CN 努力打造大学生最实用的网络平台！
N?1N?1knNX(k)?（2）
??(n)Wn?0???(n)?1,kn?0?0,1,?,N?1
sin(sin(?NN?1X(k)??Wn?0knN?1?WkmNkN1?W?e?j?Nk(m?1)mk),k?0,1,?,N?1m)?N（4）
?12N?1
?en?0j2?N(m?k)n?12N?1?en?0?j2?N(m?k)n2?2?j(m?k)N?j(m?k)N?NN1?1?e1?e??2?2?j(m?k)?j(m?k)2?NN1?e1?e????????1?,k?m且k?N?m??N,?0,k?m或k?N?m?N?10?k?N?1
N?1（6）
?2??knX(k)??cos?mn??WN??N?n?0?n?012(ej2?Nmn?e?j2?Nmn)e?j2?Nkn
（8）解法1 直接计算
x8(n)?sin(w0n)RN(n)?12jN?1?ejw0n?e?jw0n?RN(n)
NknN?1X8(k)??n?0x(n)WknN?12j??en?0jw0n?e?jw0n?e?j2?
?jwNjwN1?e01?e0??2?2?j(w?k)j(w0?k)?0NN1?e?1?e?????12jN?1?n?02??j（w0?）n??j（w0?2?）n1NNe?e?????2j
解法2 由DFT的共轭对称性求解
因为
x7(n)?ejw0nRN(n)??cos(w0n)?jsin(w0n)?RN(n)
x8(n)?sin(w0n)RN(n)?Im?x7(n)?
X70(k)所以
DFT?jx8(n)??DFT?jIm?x7(n)???12
即
X8(k)??jX(k)??j70?X(k)?X7(N?k)7??
大学生校园网—VvSchool.CN 努力打造大学生最实用的网络平台！
??jwNjwN1?e01?e01??????()2?2?j(w0?k)j(w0?(N?k)2j??2jNN1?e1?e??1??jwNjwN1?e01?e0??()?2?2?j(w0?k)j(w0?k)??NN1?e1?e??结果与
解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。
（10）解法1
N?1X(k)??nWn?0knNk?0,1,?,N?1
上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为 x(n)?nRN(n)
所以 x(n)?x((n?1))N?RN(n)?N?(n)?RN(n) 等式两边进行DFT得到
X(k)?X(k)WN?N?N?(k)k
N[?(k)?1]1?WkNX(k)?,k?1,2?,N?1故
当k?0时，可直接计算得出X（0）
N?1N?10NX(0)??n?Wn?0??n?n?0N(N?1)2
这样，X（k）可写成如下形式：
?N(N?1),k?0?2?X(k)???N?,k?1,2?,N?1k??1?WN
解法2
k?0时，
N?1X(k)??n?n?0N(N?1)2
k?0时，
X(k)?0?WN?2WN?3WN???(N?1)WNkn2k3k4kN?1N?1knNk2k3k(N?1)k(N?1)kWNX(k)?0?WN?2WN?3WN???(N?2)WNX(k)?WknN?(N?1)X(k)??Wn?1?(N?1)??WN?1?(N?1)??Nn?0kn