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X(ejw)?X(e?*?jw)
??jwnX(ejw)??n???x(n)e??n???x(n)[coswn?jsinwn]
?由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么n?????x(n)coswn?0
X(ejw)?j因此这说明
X(ejw?n???x(n)sinwn
)是纯虚数，且是w的奇函数。
jwH(e10. 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: R)?1?cosw
求序列h(n)及其傅里叶变换H(e解：
HR(ejwjw)。
?)?1?cosw?1?12ejw?12e?jw?FT[he(n)]??n???he(n)e?jwn?1?2,n??1?he(n)??1,n?0?1?,n?1?2?0,n?0??1,n?0???h(n)??he(n),n?0???1,n?1?2h(n),n?0??0,其它n?e???H(ejw)??n???h(n)e?jwn?1?e?jw?2e?jw/2cosw2n
au(n)?,0?a12. 设系统的单位取样响应
x(n)??(n?)?2?n(h(n)?，输入序列为
，完成下面各题：
（1）求出系统输出序列y(n)；
（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解： （1）
y(n)?h(n)*x(n)?au(n)*[?(n)?2?(n?2)] ?au(n)?2ann?2nu(n?2)
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（2）
?X(eH(eY(ejw)?)??n????[?(n)?2?(n?2)]e??jwn?1?2e??j2wjw?n???au(n)ejwn?jwn??n?0aen?jwn11?ae?jwjw)?H(e)?X(ejw)?1?2e?j2w?jw1?ae
13. 已知xa(t)?2cos(2?f0t)，式中f0?100Hz，以采样频率fs?400Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号xa(t)和时域离散信号x(n)，试完成下面各题： （1）写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j?)； （2）写出xa(t)和x(n)的表达式；
（3）分别求出xa(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解： （1）
Xa(j?)? ??????????xa(t)e(ej?0t?j?tdt?)e????2cos(?0t)edt?j?tdt???e?j?0t?j?t
上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数?函数，它的傅里叶变换可以
表示成：
Xa(j?)?2?[?(???0)??(???0)])?
?（2）
?a(t)?x?n???xa(t)?(t?nT)??n???2cos(?0nT)?(t?nT)
x(n)?2cos(?0nT), ???n??
?0?2?f0?200?rad,T?1fs?2.5ms
（3）
?(j?)?Xa ?1T2?T??k????Xa(j??jk?s)[?(???0?k?s)??(???0?k?s)]?k???
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式中?s?2?fs?800?rad/s
???X(ejw)??n????x(n)e[ejw0n?jwn??n???2cos(?0nT)e??jwn?jwn??n???2cos(w0n)e?jwn ??n????e?jw0n]e?2??k???[?(w?w0?2k?)??(w?w0?2k?)]
式中w0??0T?0.5?rad
上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。 14. 求以下序列的Z变换及收敛域： （2）?2（3）（6）
2?nu(?n?1)；
?nu(?n)；
??2[u(n)?u(n?10)]?n 解：
ZT[2?nu(n)]?（2） （3）
??n???2?nu(n)z?n??n?02?nz?n?11?2?1z?1,z?12
??ZT[?2?nu(?n?1)]??n????2?nu(?n?1)z11?2z?1?1?n??n??1?2?nz?n???2n?1nzn ??2z1?2z?,z?12
（6）
9ZT[2?nu(n)?u(n?10)]??2n?0?nz?n ?1?2?10?1z?10?11?2z,0?z??
16. 已知:
X(z)?1?312z?1?21?2z?1
求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。
解：
有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。
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（1）当收敛域
x(n)?12?z?0.5时，
??jcX(Z)zn?1dz
n?1F(z)?X(z)z?5?7z?1?1?1令
n?0(1?0.5z)(1?2z)zn?1?5z?7(z?0.5)(z?2)zn
，因为c内无极点，x(n)=0；
内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极
n??1，C
点有z1?0.5,z2?2，那么
x(n)??Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2] ?(5z?7)zn(z?0.5)(z?2)(z?0.5)z?0.5?(5z?7)zn(z?0.5)(z?2)(z?2)z?21nn ??[3?()?2?2]u(?n?1)2
（2）当收敛域
F(z)?0.5?z?2n时，
(5z?7)z(z?0.5)(z?2)
n?0，C内有极点0.5；
1nx(n)?Res[F(z),0.5]?3?()2n?0，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极
点只有一个，即2，
x(n)??Res[F(z),2]??2?2u(?n?1)n
1nnx(n)?3?()u(n)?2?2u(?n?1)2最后得到
（3）当收敛域
F(z)?2?zn时，
(5z?7)z(z?0.5)(z?2)
n?0，C内有极点0.5，2；
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n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。
或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到
1nnx(n)?[3?()?2?2]u(n)2n1nnx(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]?3?()?2?22
17. 已知x(n)?au(n),0?a?1，分别求： （1）x(n)的Z变换； （2）nx(n)的Z变换； （3）解：
?au(?n)?n的z变换。
X(z)?ZT[au(n)]?n（1）
ZT[nx(n)]??zddz???n???au(n)zn?n?11?az?1,z?a
X(z)?az?1?12（2）
ZT[au(?n)]??n(1?az)?,z?a
11?az,z?a?1（3）
X(z)??n?0a?nz?n??n?0az?nn
?3z2?5z?1?118. 已知
?2z?2，分别求：
（1）收敛域（2）收敛域解：
x(n)?12?0.5?z?2z?2对应的原序列x(n)；
对应的原序列x(n)。
??jcX(z)zn?1dz
n?1F(z)?X(z)z??3z2?5z?1?1?2z?2zn?1??3?zn2(z?0.5)(z?2)
（1）当收敛域
0.5?z?2n时，n?0，c内有极点0.5，
?nx(n)?Res[F(z),0.5]?0.5?2,n?0,