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11. 设系统由下面差分方程描述：
y(n)?12y(n?1)?x(n)?12x(n?1)；
设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。 解：
令：x(n)??(n)
h(n)?12h(n?1)??(n)?12?(n?1)12
n?0,h(0)?n?1,h(1)?n?2,h(2)?n?3,h(3)?1212h(?1)??(0)?12?(?1)?1h(0)??(1)?h(1)?12?(0)?112112h(2)?()22
归纳起来，结果为
1n?1h(n)?()u(n?1)??(n)2
12. 有一连续信号（1）求出
xa(t)xa(t)?cos(2?ft??),式中，
f?20Hz,???2
的周期。
?(t)x(t)x（2）用采样间隔T?0.02s对a进行采样，试写出采样信号a的表达式。
（3）画出对应
?a(t)x的时域离散信号(序列) x(n)的波形，并求出x(n)的周期。
————第二章———— 教材第二章习题解答 1. 设
X(ejw)和
Y(ejw)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶
变换： （1）
x(n?n0)；
（2）x(?n)； （3）x(n)y(n)； （4）x(2n)。
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解：
?（1）令
'FT[x(n?n0)]?'?n???x(n?n0)e?jwn
n?n?n0,n?n?n0?，则
'?jw(n?n0)'FT[x(n?n0)]??n???x(n)e?e?jwn0X(ejw)
??jwn?FT[x(n)]?*（2）
FT[x(?n)]??n???x(n)e*?[?n???x(n)ejwn*]?X(e*?jw)
?（3）
令n??n，则
?'?n???x(?n)e?jwn
jwn'FT[x(?n)]??n???'x(n)e'?X(e?jw)
FT[x(n)*y(n)]?X(e?jw（4）
)Y(ejw)
x(n)*y(n)?证明：
???m???x(m)y(n?m)
FT[x(n)*y(n)]??[?n???m?????x(m)y(n?m)]e?jwn
令k=n-m，则
FT[x(n)*y(n)]? ??[?k????m???x(m)y(k)]e??jwk?jwke?jwn?k???y(k)ejw?m???x(m)e?jwn ?X(e)Y(ejw)
X(ejw2. 已知求
X(ejw??1,w?w0)????0,w0?w??
)的傅里叶反变换x(n)。
x(n)?12?解：
?w0?w0ejwndw?sinw0n?n
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3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)
H(ejw)?H(ejw)ej?(w),如果单位脉冲
响应h(n)为实序列，试证明输入x(n)?Acos(w0n??)的稳态响应为
y(n)?AH(ejw)cos[w0n????(w0)]。
解：
假设输入信号x(n)?ey(n)?h(n)*x(n)?jw0n，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为
?jw0n??m???h(m)ejw0(n?m)?ejw0n?m???h(m)e?jw0m?H(ejw0)e上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。
x(n)?Acos(w0n??)?y(n)? ?1212A[eeA[eejw12A[e)?e)ejw0nej??e?jw0ne?j?]j?jw0nH(ejw0?j?e?jw0nH(e?j??jw0)]H(e?jw0j?jw0nH(ejw0j?(w0)?ee?jw0n)ej?(?w0)]
上式中
H(ejwH(e)是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，
?jw)?H(e12),?(w)???(?w))[eej?jw0ny(n)?AH(ejw0jw0ej?(w0)?e?j?e?jw0ne?j?(w0)] ?AH(e)cos(w0n????(w0))
?1,n?0,1x(n)????0,其它将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列x(n)，画4. 设
?(n)xx(n)出和
的波形，求出
?(n)x的离散傅里叶级数
?X(k)和傅里叶变换。
解：
?(n)画出x(n)和x的波形如题4解图所示。 ?(k)?DFS[x?(n)]?X?j3?n?0?j?(n)exk?j2?4kn1??n?0e?j?2kn?1?e?j?2k?4 ?e?(k)Xk(ej?4k?4?e)?2cos(?4k)?e?j?4k,
以4为周期，或者
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?(k)?X1?en?0?j?2kn?1?e1?e?j?k?j?2?kee1?j?k21?j?k4(e(e1j?k21j?k4?e?e1?j?k21?j?k4))?e?j?k41sinsin1214?k?k,
?(k)X以
4为周期
2?4?X(ejw?(n)]?)?FT[x?k????(k)?(w?2?k)X4 ??2??k?????(k)?(w??k)X2 ???k???cos(?4k)e?j?4k?(w??2k)
X(ejw5. 设如图所示的序列x(n)运算： （1）
X(e)?j0的FT用
)表示，不直接求出
X(ejw)，完成下列
；
jw（2）?????X(e)dw；
X(ejw)dw2（5）??解：
7
X(ej0)?（1）
??n??3x(n)?6
（2）????X(ejw)dw?x(0)?2??4?
X(ejwn??3（5）??6. 试求如下序列的傅里叶变换:
?)dw?2?27?x(n)2?28?
（2）（3）
x2(n)?12?(n?1)??(n)?12?(n?1)；
x3(n)?au(n),0?a?1n
解： （2）
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?X2(ejw)??n???x2(n)e12(ejw?jwn?12ejw?1?12e?jw ?1??e?jw)?1?cosw?
?n?jwn（3） 7. 设:
X3(ejw)??n???au(n)e??n?0aen?jwn?11?ae?jw
（1）x(n)是实偶函数，
（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶变换性质。 解：
?X(ejw)?令
?n???x(n)e?jwn
?X(ejw)?（1）x(n)是实、偶函数，两边取共轭，得到
???n???x(n)e?jwn
X(e*jw)??n???x(n)ejwn??n???x(n)e?j(?w)n?X(e?jw)
因此
X(ejw)?X(e*?jw)
X(ejw上式说明x(n)是实序列，
??)具有共轭对称性质。
X(ejw)??n???x(n)e?jwn??n???x(n)[coswn?jsinwn]
由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么
??n???x(n)sinwn?0
?X(ejw)?因此该式说明
X(e?n???jwx(n)coswn
)是实函数，且是w的偶函数。
X(ejw总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换（2）x(n)是实、奇函数。 上面已推出，由于x(n)是实序列，
X(ejw)是实、偶函数。
)具有共轭对称性质，即