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所以，
X(k)??N1?WkN,k?0
即
?N(N?1),k?0?2?X(k)???N?,k?1,2?,N?1k??1?WN
2. 已知下列X(k)，求x(n)?IDFT[X(k)];
?Nj??2e,k?m??N?j?X(k)??e,k?N?m?2?0,其它k??（1）; ?Nj???2je,k?m??N?j?X(k)??je,k?N?m?2?0,其它k??（2）
解：
（1）
x(n)?IDFT[X(k)]?1??e2?j(2?Nmn??)?j(2?N1NN?1?Wn?0?knN1?N??eN?2j?ej2?Nmn?N2e?j?ej2?N(N?m)n????emn??)?2??cos(mn??),?N?n?0,1,?N?1
（2）
x(n)?1?NN?j??(N?m)n?j??mn?jeW?eWNN??N?22?
2?2??j(mn??)?1?j(Nmn??)2?N?e?e?sin(mn??),??2j?N?n?0,1,?N?1
3. 长度为N=10的两个有限长序列
?1,0?n?4?1,0?n?4x1(n)??x2(n)???0,5?n?9 ??1,5?n?9
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作图表示x1(n)、x2(n)和y(n)?x1(n)?x2(n)。 解：
x1(n)、x2(n)和y(n)?x1(n)?x2(n)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。
14. 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为:
x(n)?0,n?0,8?ny(n)?0,n?0,20?n
对每个序列作20点DFT,即
X(k)?DFT[x(n)],k?0,1,?,19Y(k)?DFT[y(n)],k?0,1,?,19
如果
F(k)?X(k)?Y(k),k?0,1,?,19f(n)?IDFT[F(k)],k?0,1,?,19
试问在哪些点上f(n)?x(n)*y(n)，为什么？ 解：
f(n)如前所示，记f(n)?x(n)*y(n)，而f(n)?IDFT[F(k)]?x(n)?y(n)。l
长度为27，f(n)长度为20。已推出二者的关系为
?f(n)??m???fl(n?20m)?R20(n)
f(n)?fl(n)只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足
f(n)?fl(n)?x(n)?y(n),7?n?19所以
15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率F?50Hz，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数： （1）最小记录时间（2）最大取样间隔（3）最少采样点数
Tpmin；
Tmax； ；
Nmin（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。 解：
（1）已知F?50HZ
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Tpmin?1F?150?0.02s
?12?103Tmax?1fmin?12fmax?0.5ms（2）
Nmin?
TpT（3）
?0.02s0.5?10?3?40
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
Nmin?0.04s0.5ms?80
18. 我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与h(n)的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列ym(n)，m表示第m段计算输出。最后，从接得到滤波输出y(n)。 （1）求V； （2）求B；
（3）确定取出的B个采样应为解：
为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列先以h(n)与各段输入的线性卷积
ylm(n)ym(n)ym(n)ym(n)中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连
中的哪些采样点。
的序列标号为0，1，2，…,127。
中，第0点到48点（共49
考虑，
ylm(n)个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列y(n)的一段，即B=51。所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的y(n)，必须重叠100-51=49个点，即V=49。
下面说明，对128点的循环卷积
?ym(n)，上述结果也是正确的。我们知道
ym(n)??r???ylm(n?128r)?R128(n)
因为
ylm(n)长度为
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N+M-1=50+100-1=149
所以从n=20到127区域， ym(n)?ylm(n)，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的ym(n)。 综上所述，总结所得结论 V=49,B=51
选取ym(n)中第49~99点作为滤波输出。 5.2 教材第五章习题解答
1. 设系统用下面的差分方程描述：
y(n)?34y(n?1)?18y(n?2)?x(n)?13x(n?1)，
试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。 解：
y(n)?3434y(n?1)?1818y(n?2)?x(n)?1313x(n?1)将上式进行Z变换
Y(z)?Y(z)z?1
?Y(z)z?2?X(z)?X(z)z?1
1?H(z)?1?34z13?1z??118z?2
（1）按照系统函数H(z)，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图（一）所示。
（2）将H(z)的分母进行因式分解
1?H(z)?1?34z13?1z??118zz?2
1??(1?1?113?124
按照上式可以有两种级联型结构：
1?H(z)?(1?1312z?1z)(1?1z)?1?z)?11(1?14z)?1(a)
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画出级联型结构如题1解图（二）（a）所示
1(1?12z)?11??(1?1314z?1H(z)?(b)
z)?1
画出级联型结构如题1解图（二）（b）所示 （3）将H(z)进行部分分式展开
1?H(z)?(1?12?113z?1z)(1?131414z)?1
?Bz?14
H(z)zz??(z?z?1213?)Az?12)(z?A?(z?12)(z?1314(z?)12z?)1?2103
73z?B?(z?12)(z?14(z?)714z?)1??4
10H(z)z?3z?10H(z)?3z?12z12?3z?7z14?1?14
10312?z?1?3z?31?11?z4
?7根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。
2. 设数字滤波器的差分方程为
y(n)?(a?b)y(n?1)?aby(n?2)?x(n?2)?(a?b)x(n?1)?abx(n)，
试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。 解：
将差分方程进行Z变换，得到
Y(z)?(a?b)Y(z)z?1?abY(z)z?1?2?X(z)z?2?2?2?(a?b)X(z)z?1?abX(z)
H(z)?Y(z)X(z)?ab?(a?b)z1?(a?b)z?1?z?abz