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Ha(s)?7.2687?10222162(s?2Re[s1]s?s1)(s?2Re[s2]s?s2)
48?7.2687?10248216(s?1.6731?10s?4.7791?10)(s?4.0394?10s?4.7790?10)
4. 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为：
Ha(s)?s?a(s?a)?b；
b(s?a)?b。式中，a,b为常数，设Ha(s)因果稳定，试采用脉冲响
2222(1)
(2)
Ha(s)?应不变法，分别将其转换成数字滤波器H(z)。 解： 该题所给
Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具
Ha(s)有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的转换公式，设采样周期为T。 （1）
Ha(s)的脉冲响应不变法
Ha(s)?s?a(s?a)?b
22的极点为：
，
s2??a?jbs1??a?jb
将
Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）：
s?a(s?a)?b22Ha(s)??A1s?s1?A2s?s2
22?A1(s?s2)?A2(s?s1)(s?a)?b22?(A1?A2)s?A1s2?A2s1(s?a)?b
比较分子各项系数可知：
A、B应满足方程：
?A1?A2?1???A1s2?A2s1?a
解之得
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A1?12,A2?12
AkskT所以
2H(z)??1?ek?1z?1?0.51?e(?a?jb)Tz?1?0.51?e(?a?jb)Tz?11Ha(s)?122?s?(?a?jb)s?(?a?jb)
2H(z)??1?ek?1AkskTz?1?0.51?e(?a?jb)Tz?1?0.51?e(?a?jb)Tz?1
按照题目要求，上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将H(z)的两项通分并化简整理，可得
H(z)?1?ze1?2e?aT?1?aTcos(bT)?1cos(bT)z?e?2aTz?2
用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。 （2）
Ha(s)Ha(s)?b(s?a)?b
22的极点为：
，
s2??a?jbs1??a?jb
将
Ha(s)部分分式展开：
1j?1j22Ha(s)??s?(?a?jb)s?(?a?jb)H(z)?0.5j1?e(?a?jb)T
z?1??0.5j1?e(?a?jb)Tz?1通分并化简整理得
H(z)?ze1?2e?aT?1?aTsin(bT)?1
5. 已知模拟滤波器的传输函数为：
cos(bT)z?e?2aTz?2大学生校园网—VvSchool.CN 努力打造大学生最实用的网络平台！
（1）
Ha(s)?1s?s?1；
12s?3s?122（2）
Ha(s)?试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数
字滤波器，设T=2s。 解：
（1）用脉冲响应不变法 ①
Ha(s)?1s?s?1
2方法1 直接按脉冲响应不变法设计公式，Ha(s)的极点为：
s1??0.5?j32s2??0.5?j32，
j3332)?jHa(s)?3332)?s?(?0.5?js?(?0.5?j
?jH(z)?1?e3332)Tj?z?13332)T(?0.5?j1?e(?0.5?jz?1
代入T=2s
?jH(z)?1?e33z?1j?1?e333z?1(?1?j3)(?1?j3)
?233?ze1?2ze?1?1?1?1sincos3?ez?2?2
Ha(s)方法2 直接套用4题(2)所得公式，为了套用公式，先对将
Ha(s)的分母配方，
化成4题中的标准形式：
b(s?a)?b22Ha(s)??c,c为一常数，
由于
s?s?1?(s?212)?234?(s?12)?(232)2
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所以
Ha(s)?1s?s?12s?(s?3/212)?(232?)2233
对比可知，
H(z)?233a?12,b?32?1，套用公式得
?aT?ze1?2eze?1sin(bT)?1?aTcos(bT)z33?ezHa(s)??2?e?2aTz?2T=2
?233?1?sin1?2ze?1?1cos?2
12②
H(z)=11-e-0.5T2s?3s?1=1s+0.5+-1s+1
z-1+-11-ez-T-1T=2
=1+-1-1-1-2-11-ez 1-ez或通分合并两项得
H(z)=(e-e)z-1-2-1-1-2-1-3?21-(e+e)z+ez
（2）用双线性变换法
H(z)?Ha(s)21?zT1?z?1?1s?,T?2①
?(11?z1?z?1?1
)?21?z1?z?1?1?1
?(1?z)?12?1?12?1?12(1?z)?(1?z)(1?z)?(1?z)
?1?2z?1?z?2?23?z
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H(z)?Ha(s)②
?2(11?z1?z?1?1s?21?zT1?z?1?1,T?2
)?321?z1?z?1?1?1
?(1?z)2(1?z)?3(1?z?12?12?2)?(1?z)
?12?1?2z?1?z?1?26?2z
H(z)?Ha(s)z?1z?17. 假设某模拟滤波器
Ha(s)是一个低通滤波器，又知
s?，数字滤
波器H(z)的通带中心位于下面的哪种情况？并说明原因。 （1）w?0 (低通)；
（2）w??（高通）；
（3）除0或?外的某一频率（带通）。 解：
按题意可写出
H(z)?Ha(s)z?1z?1
ws?故
s?j??z?1z?1z?ejw?eejwjw?1?1cos?j2?jcotww2sin2
即
??cotw2
原模拟低通滤波器以??0为通带中心，由上式可知，??0时，对应于w??，故答案为（2）。
9. 设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于0.2?rad时，容许幅度误差在1dB之内；频率在0.3?到?之间的阻带衰减大于10dB；试采用巴特沃斯型模拟滤波