函数图象上点的存在性问题中的全等、相似与角度（真题实战练习） 【真题模拟】
【例1】(2009—2010昌平二模)抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B。
⑴求抛物线的解析式；
⑵已知点D(m，1－m)在第二象限的抛物线上，求点D关于直线BC的对称点的坐标； ⑶在⑵的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求出点P的坐标。
【例2】(2009—2010东城二模)如图，二次函数过A(0，m)、B(-3，0)、C(12，0)，过A点作x轴的平行线
交抛物线于一点D，线段OC上有一动点P，连结DP，作PE⊥DP，交y轴于点E。 ⑴求AD的长；
⑵若在线段OC上存在不同的两点P1、P2，使相应的点E1、E2都与点A重合，试求m的取值范围。 ⑶设抛物线的顶点为点Q，当60°≤∠BQC≤90°时，求m的变化范围。
板块二 二次函数与多个角：在抛物线上找点，满足两角和(差)关系
【探索7】二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，
在二次函数的图象上是否存在点P，使锐角∠PCO＞∠ACO？若存在，请你求出P点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由。
1
【例3】(2008年北京中考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在
点B的左侧)，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)，将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点。
⑴求直线BC及抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标； ⑶连结CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数。
测 试 题
21??1．如图，平行四边形ABCD的顶点A??12，0?，B?0，9?，C?0，?，抛物线y?ax2?bx?c经过点A、
4??B。
⑴求点D的坐标．
213⑵关于x的方程ax2?bx?c??x有且只有一个解，求抛物线的解析式．
44⑶在⑵的条件下，点P为抛物线y?ax2?bx?c上一动点(不与A、过点P作x的垂线交线段CDB重合)，于Q，若∠AQD?45??∠BQC，直接写出点P的横坐标。
yBCAOxD
132．抛物线y?x2?x?1过点A?1，0?，B?x2，0?，交y轴正半轴于点C，在抛物线上(在B点的右侧)是
22否存在一点P，使得?PCB??CBA??ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y??x2?bx?c与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y0?，点C的坐标为?0，3?． 轴交于点C，顶点为D，且点B的坐标为?1，⑴求抛物线及直线AC的解析式；
⑵E、F是线段AC上的两点，且?AEO??ABC，过点F作与y轴平行的直线交抛物线于点M，交x轴于点N。当MF?DE时，在x轴上是否存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
⑶若点Q是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点，试比较锐角?QCO与?BCO的大(直接写出结果，不要求写出求解过程，但要写出此时点Q的横坐标x的取值范围)。
2
4．(2009海淀二模)如图，已知抛物线y?(3?m)x2?2(m?3)x?4m?m2的顶点A在双曲线y?
3
上，直线yx
＝mx＋b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C。 ⑴确定直线AB的解析式；
⑵将直线AB绕点O顺时针旋转90?，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值；
⑶过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6。设点N在直线BG上，请你直接写出使得∠AMB＋∠ANB＝45?的点N的坐标。
yyAABBFCOxCEODx 3
函数图象上点的存在性问题中的全等、相似与角度(常考知识点精析) 板块一 二次函数与一个角
在抛物线上找点，满足特殊角。
探索：用角来刻画直线和抛物线的位置关系。
【探索1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线 y＝x2上一动点，是否存在点P，使∠POx为
45°，若存在，请求出点P的坐标；不存在，说明理由。
【探索2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线y＝x2上一动点，点A的坐标为(
1，0)，是否4存在点P，使∠PAx分别为45°或30°？若存在，请求出点P的坐标；不存在，说明理由。
【探索3】如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线y＝x上一动点，点A的坐标为(1，0)，若点P
使∠PAx最小，请求出点P的坐标。
2
4
【探索4】二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A、B两点(点A 在点B的左侧)，与y轴交于C点，
在二次函数的图象上是否存在点P，使得∠PAC为锐角？若存在，请你求出P点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由。
【探索5】二次函数图象经过点A(-3，0)，B(-1，8)，C(0，6)，直线y＝
二次函数图象上一动点，若∠PAD＝45°，求点P的坐标。
2x＋2与y轴交于点D，点P为3
【探索6】如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线y＝x2上一动点，点A的坐标为(4，2)，若使
∠AOP＝45°，请求出点P的坐标。
5