函数图象上点的存在性问题中的距离与面积（常考知识点精析） 板块一 探索抛物线上的点存在性之距离
一、二次函数与线段定值
探索：用距离来刻画动点的位置 【探索1】
抛物线y??x2?2x?3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【探索2】
抛物线y??x2?2x?3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与 y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，若点P到直线y?x的距离为2，求点P的坐标。 2
【探索3】
抛物线y??x2?2x?3与x轴交于点A、B (点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，若点P到对称轴和y轴的距离相等，求P点坐标。
6
【探索4】
抛物线y??x2?2x?3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，若点P到对称轴和x轴的距离相等，求P点坐标。
【探索5】
抛物线y??x2?2x?3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与 y轴交于点C，点P为△BOC内一点，且点P到△BOC三边所在直线的距离相等，求P点坐标。
二、二次函数与线段最值
中考说明：动点满足线段间大小关系、和差最值等。中考主要考查以下两点： 1．“两点间线段最短” 2．“垂线段最短” 1．“两点间线段最短” 下面按三大变换来分类： 【旋转型】
已知AB?a，AC?b，其中a?b，求BC的最值。
【轴对称型】
1．在直线l上找一点P，使得其到直线同侧两点A、B的距离之和最小。
7
2．直线l1、l2交于O、P是两直线间的一点，在直线l1、l2上分别找一点A、B，使得△PAB的周长最短。
3．直线l1、l2交于O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从P点到l2上一点Q，
再回到B点，求作P、Q两点，使AP＋PQ ＋QB最小。
【平移型】
1．从A点出发，先到直线l上的一点P，再在l上移动一段固定的距离PQ，再回到点B，求作P点使移
动的距离最短。
2．A、B是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d的河上垂直建一座桥，使得从A村庄经过桥到B村庄所走的路程最短。
2．“垂线段最短”
8
函数图象上点的存在性问题中的距离与面积（真题实战练习） 【例1】(2009延庆一模)
在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且经过B(0，4)，C(5，9)直线BC与x轴交于点A。
⑴求出直线BC及抛物线的解析式。
⑵D(1，y)在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在两点M，N，且MN＝2 ，点M在点N的上方，使得四边形BDNM的周长最小，若存在，求出M，N两点的坐标，若不存在，请说明理由。 ⑶现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线BC距离为32的点P。
【例2】(2010苏州)
如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B。已知A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)。 ⑴求抛物线的解析式；
⑵设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧。若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；
⑶在⑵的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2＋PB2＋PM2＞28是否总成立？请说明理由。
9
板块二 探索抛物线上的点存在性之面积最值
【探索6】
抛物线y＝-x2－2x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标。
【探索7】
如图，抛物线y＝-x2－2x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，线段BC向上平移3个单位得到对应线段B′C′，抛物线上一动点P(点P在平行四边形BCC′B′中)，是否存在点P，使得S△PBC－S△PB′C′的值最大。
【例3】(2010朝阳一模)
3已知直线y＝kx－3与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点C，抛物线y??x2?mx?n经过点A和点C，
4动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍。 ⑴求此抛物线的解析式和直线的解析式；
⑵如果点P和点Q同时出发，运动时间为t(秒)，试问当t为何值时，△PQA是直角三角形；
⑶在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大，若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由。
10