【例4】
已知：△AOB中，AB＝OB＝2，△COD中，CD＝OC＝3，∠ABO＝∠DCO。连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点。
⑴如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO＝60°，则△PMN的形状是______，此时
AC_____； BC
⑵如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO＝2α，证明：△PMN∽△BAO，并计算含α的式子表示)；
AC的值(用BC
【等积变换】 【例5】
⑴如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，M、N分别在AD、AB上，且MN∥BD，求证：S△DMC＝S△BNC。
⑵已知AD为∠BAC的角平分线，CD∥BE，CF∥BD，求证：BF＝CE。
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测 试 题
实战演练
演练1
如图，四边形ABCD是菱形，△AEF是等边三角形，点E、F分别在边BC、CD上，且AB?AE，则∠B? 。
演练2
在四边形ABCD中，∠ADB?∠ABC?105?，∠DAB?∠DCB?45?，若A到直线BD的距离为101，则线段CD的长度为 __ 。
演练3
如图，已知∠BAD?∠DAC?9?，AD?AE，且AB?AC?BE，求∠B。
F
AA演练4
阅读下列材料：
小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD?8cm，AB?6cm。现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45?的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45?的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着与BC边夹角为45?的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45?的方向作直线运动，?，如图1所示。问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所．．．．．．经过的路径的总长是多少。
BDCEBDCE
小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD。由轴对称的知识，发现P2P3?P2E，P1A?PE1。
请你参考小贝的思路解决下列问题：
⑴P点第一次与D点重合前与边相碰______次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径地总长是_______________cm；
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⑵进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD?AB。动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上。若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB:AD的值为_________。
演练5
如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE。我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
⑴①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度?，得到如图2、图3的情形。请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断。
AGDFHB图1CEBC图2EADOGFBG图3AEFCD
k?0?，第⑴⑵将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB?a，BC?b，CE?ka，CG?kb?a?b，题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由。
1⑶在第⑵题图5中，连结DG、BE，且a?3，b?2，k?，求BE2?DG2的值。
2AGBDFEBADAFFEBG图6ECDGHOC图5C图4
演练6
如图1，在△ABC中，AC?BC，?C?120?，D在BC边上。△BDE为等边三角形，连接AE，F为AE中点，连CF，DF。
ECFDA图1B
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⑴请直接写出CF、DF的关系，不必说明理由；
⑵若将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转90?，其它条件不变，请作出相应图形，并直接给出结论，不必说明理由。
⑶将图中的△DBE绕点B顺时针旋转?（0°＜?＜60°），其它条件不变，如图2，试回答⑴中的结论是否成立？并说明理由。
ECFDA图2B
演练7
如图1，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG?AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG?GE，连接BE，CE。 ⑴求证：BE?BC；
⑵如图2，?CBE的平分线交AE于N点，连接CN、DN，
2BN ②BN?DN?2AN； 2⑶若正方形的边长为2，当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为 。
求证：①AG?CN?AGBPED图1C
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图形变换与动手操作（必考点，易错点） 【例1】(2010年天津市)
在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点。
⑴若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
⑵若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。
【例2】
如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的点为E，折痕的一端G点在边BC上(BG＜GC)，另一端F落在矩形的边上，BG＝10。
⑴请你在备用图中画出满足条件的图形；
⑵求出折痕GF的长。
【例3】
已知△ABC，∠ABC＝∠ACB＝63°。如图1所示，取三边中点，可以把△ABC分割成四个等腰三角形。请你在图2中，用另外四种不同的方法把△ABC分割成四个等腰三角形，并标明分割后的四个等腰三角形的底角的度数(如果经过变换后两个图形重合，则视为同一种方法)。
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