AE?BF?3，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。 7当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为【 】
A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A。
【考点】反射原理，正方形的性质，三角形相似的判定和性质。
【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到E点时，需要碰撞14次即可。
也可以通过三角形相似的相似比求解：如图，
为便是于计算，将正方形ABCD的边长扩大7倍，这样边长为7，AE?BF?3，BE?CF?4。
BE4?。 BF35CF4316165DHDH3 ∴???DH?； ???GC??DG?7??；
544GCGC4333DG3 ∴这些三角形相似的两边长之比
CI?DH?7CI?54?3?CI?13?BI?7?13?1； 742221BI32219?2??BJ??AJ?7??； BJBJ433393AKAK319199DK?4??DL?3。 ???AK??DK?7??；
194DLDL4AJ4443 ∴经过7次碰撞，到达与点E成轴对称的点L处，根据正方形的对称性，再经过7次碰撞，到达点E，共14次碰撞。故选A。
例6：（2012年湖南省理5分）已知两条直线l1 ：y?m和l2：y?8?m>0?，l1与函数y?log2x2m+1的图像从左至右相交于点A，B ，l2与函数y?log2x的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a , b,当m 变化时，
b的最小值为【 】a来源%&:中国~*教育出版网
A．162 B. 82 C. 834 D. 434 【答案】B。
【考点】数形结合，函数的图象，基本不等式的应用。 【解析】如图，在同一坐标系中作出y?m，y?8?m>0?，2m+1y?log2x图像，
由log2x=m，得x1?2?m,x2?2m，
88?8由log2x?，得x3?22m?1,x4?22m?1。
2m+182m?1根据题意得a?2?m?28?2m?1, b?2?2m82m?1b, ?a2?22?m?2m8?2m?1?22m82m?1?2m?82m?1。
7b814117∵m??m????4??，∴()min?22=82。故选B。
a2m?12m?12222例7：（2012年江西省理5分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
黄瓜 韭菜 年产量/亩 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2万元 0.9万元 每吨售价 0.55万元 0.3万元 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入?总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为【 】
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50 【答案】B。
【考点】建模的思想方法，线性规划知识在实际问题中的应用。
【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元，则目标函数为
z?(0.55?4x?1.2x)?(0.3?6y?0.9y)?x?0.9y.
?x?y?50?x?y?50?4x?3y?180?1.2x?0.9y?54??线性约束条件为 ?，即?。
x?0x?0?????y?0?y?0?x?y?50?4x?3y?180?如图，作出不等式组?表示的可行域,易求得点
?x?0??y?0A?0,50?,B?30,20?, C?0,45?。
平移直线x?0.9y?0，可知当直线z?x?0.9y经过点B?30,20?,即x?30,y?20时,z取得最
大值,且zmax?48（万元）。故选B。
八、待定系数法：待定系数法是一种常用的数学方法，对于某些数学问题，如果已知所求结果
具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程（组）或不等式（组），解之即得待定的系数。对于待定系数法方法的使用，笔者将另文详细解析。
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1： （2012年全国课标卷理5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y?16x的准线交于A,B两点，AB?43；则C的实轴长为【 】
2(A)2 (B) 22 (C)? (D)?
【答案】C。
【考点】双曲线和抛物线的性质。 【解析】y?16x的准线l:x??4。
∵C与抛物线y?16x的准线交于A,B两点，AB?43， ∴A(?4,23)，B(?4,?23)。
222 设C:x?y?a(a?0)，则a2?(?4)2?(23)2?4，得a?2，2a?4。故选C。
22
?1?例2：（2012年全国大纲卷理5分）已知等差数列?an?的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列??的
?anan?1?前100项和为【 】
A．
9910099101 B． C． D．
101101 100100【答案】A。
【考点】等差数列的通项公式和前n项和公式的运用，裂项求和的综合运用。
【解析】通过已知a5=5，S5=15，列式求解，得到公差与首项，从而得?an?的通项公式，进一步裂项求和：
设等差数列?an?的公差为d，则由a5=5，S5=15可得
?a1?4d=5?a1=1???an=n。 ??5?4d=15a1?d=15??2?∴
1111==?。 anan?1n?n?1?nn?11?1100?1???=。故选A。 ?=1?100101101101???1??11?∴S100=?1????????2??23?例3：（2012年湖北省理5分）已知二次函数y=f?x?的图像如图所示 ，则它与x轴所围图形的面积为【 】
A.
2?43? B. C. D. 5322
【答案】B。
【考点】待定系数法求函数解析式，定积分在求面积中的应用。
【解析】先根据函数的图象用待定系数法求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求：
根据函数的图象可知二次函数y=f?x?图象过点（－1，0），（1，0），（0，1），用待定系数法可求得二次函数解析式为f?x?=1?x。
2
设二次函数y=f?x?的图像与x轴所围图形的面积为S，
?131?4则S=??1-x?dx=2??1-x?dx=2?x-x?=。故选B。
-10?30?3??1212例4：（2012年湖北省理5分）设a,b,c,x,y,z是正数，且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20，则
a+b+c=【 】
x+y+zA.
1113 B. C. D. 4324【答案】C。
【考点】柯西不等式不等式的应用，待定系数法的应用。 【解析】由柯西不等式知a+b+c222而此时a+b+c?222??x+y22+z2???ax+by+cz?=400，
2???x2abc+y2+z2?=400恰好满足取等条件==。
xyz令
abc===k?k>0?，则a=kx, b=yk, c=zk。 xyz2222代入到a+b+c=10中得k∵k>0，∴k=?x2+y2+z2?=10，再将x2+y2+z2=40代入得k2=1。 41a+b+ckx+ky+kz1==k=。故选C。 。∴
2x+y+zx+y+z2例5：（2012年四川省文5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|?【 】
A、22 B、23 C、4 D、25 【答案】B。
【考点】抛物线的定义。
【解析】设抛物线方程为y2?2px?p?0?,则焦点坐标为（ ∵点M在该抛物线上，
pp，准线方程为x=?。 ,0）22p2p222?）?y0?（2?）?3， ∴点M到该抛物线焦点的距离等于到准线的距离，即（22