习题5
5-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点.试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)？(2)这种平衡与三角形的边长有无关系？ 解: 如题5-1图示
(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q?为负电荷
1q212cos30??4π?0a24π?0qq?(32a)3
解得 q??? (2)与三角形边长无关．
3q 3题5-1图 题5-2图
题5-2图
5-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ，如题5--2图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量. 解: 如题5-2图示
Tcos??mg??q2 ?Tsin??F?1e?4π?0(2lsin?)2? 解得 q?2lsin?4??0mgtan?
5-3 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为＋q和－q.则这两板之间有相互作用力f，有人说
f?q24??0d2，又有人说，因为f＝qE，E?q，所以?0Sq2试问这两种说法对吗？为什么？f到底应等于多少？ f??0S解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强E?q看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电?0Sqq2场为E?，另一板受它的作用力f?q，这是两板间相互作用的电场力． ?2?0S2?0S2?0Sq
5-4 长l＝15.0 cm的直导线AB上均匀地分布着线密度??5.0?10线中点相距d2?5.0cm处Q点的场强. 解： 如题5-4图所示
?9Cm的正电荷.试求：(1)
在导线的延长线上与导线B端相距a1?5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导
题5-4图
(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为
dEP?1?dx
4π?0(a?x)2?EP??dEP?4π?0??l2l?2dx 2(a?x)?11[?]
ll4π?0a?a?222?用l?lπ?0(4a?l)2
?15cm，??5.0?10?9C?m?1, a?12.5cm代入得
EP?6.74?102N?C?1 方向水平向右
(2)
dEQ?1?dx 方向如题5-4图所示 224π?0x?d2由于对称性
?dE?0，即EQ只有y分量， ?Qxl∵ dEQy1?dx?4π?0x2?d22d2x?d222
l2l?2EQy??dEQyld??24π?2
?dx(x2?d22)32
?以??5.0?10?9?l2π?0l?4d222C?cm?1, l?15cm,d2?5cm代入得
EQ?EQy?14.96?102N?C?1，方向沿y轴正向
5-5 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少？
??q解: (1)由高斯定理?E?dS?
s?0立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量?e?q． 6?0(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则边
长2a的正方形上电通量?e?q 6?0q， 24?0对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则?e?如果它包含q所在顶点则?e?0．
如题5-5(a)图所示．题5-5(3)图
题5-5(a)图 题5-5(b)图 题5-5 (c)图
5-6 均匀带电球壳内半径6 cm，外半径10 cm，电荷体密度为2?105cm,8 cm及12 cm的各点的场强.
?5Cm3.试求距球心
???q2解: 高斯定理?E?dS?,E4πr?s?0?q
?0当r?5cm时，?q?0,E?0
4π33(r ?r内) 3?r?8cm时，?q?p?∴ E?4π32r?r内3?3.48?104N?C?1， 方向沿半径向外． 24π?0r??r?12cm时,?q??4π33(r外?r内 ）3?∴ E?4π33r外?r内3?4.10?104 N?C?1 沿半径向外. 24π?0r??
5-7 半径为R1和R2 (R2>R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和－λ，试求：(1) r
???q解: 高斯定理?E?dS?
s?0取同轴圆柱形高斯面，侧面积SS?2πrl
??则 ?E?dS?E2πrl
对(1) r(2) R1∴ E??R1 ?q?0,E?0 ?r?R2 ?q?l?
? 沿径向向外
2π?0r?R2 ?q?0
(3) r∴ E
?0
5-8 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为?1和?2，试求空间各处场强.
题5-8图
解: 如题5-8图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为?1与?2，
?1?(?1??2)n 两面间， E?2?0?1??1面外， E??(?1??2)n
2?0?1??2面外， E?(?1??2)n
2?0?n：垂直于两平面由?1面指为?2面．
5-9 如题5-9图所示，在A，B两点处放有电量分别为＋q，－q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力做的功. 解: 如题5-9图示
UO?1qq(?)?0 4π?0RRUO?1qqq (?)??4π?03RR6π?0Rqoq
6π?0R∴ A?q0(UO?UC)?题5-9图 题5-10图
5-10 如题5-10图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷，两段直导线的长度和半圆环的半径都等于R.试求环中心O点处的场强和电势.
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取
dl?Rd?
则dq??Rd?产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿
?y轴负方向