∴ t????E????/2?s 323 (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
121kA?m?2A2221???10?10?3()2?(0.24)2 22?7.1?10?4J
8-4 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0 g的物体时，伸长为4.9 cm.用这个弹簧和一个质量为8.0 g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0 cm后，给予向上的初速度v0＝5.0 cm·s－1
，求振动周期和振动表达式. 解：
m1g1.0?10?3?9.8?1 k???0.2N?m?2x14.9?10而t?0时，x0??1.0?10?2m,v0?5.0?10?2m?s-1 ( 设向上为正)
?k0.22???5,即T??1.26s m?8?10?3又 ??2A?x0?(v0?)2?225.0?10?22?(1.0?10)?()
5?2?10?2mv05.0?10?25? tan?0????1,即??0x0?1.0?10?2?54∴ x?52?10?2cos(5t??)m
4
8-5 题8-5图为两个谐振动的x－t曲线，试分别写出其谐振动方程.
题8-5图
解：由题8-5图(a)，∵t
3?0时，x0?0,v0?0,??0??,又,A?10cm,T?2s
22?即 ????rad?s?1
T3?)m 2A5?由题8-5图(b)∵t?0时，x0?,v0?0,??0?
23故 xa?0.1cos(?t?255又 ?1???1????
325∴ ???
655?故 xb?0.1cos(?t?)m
63
8-6 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20 m，位相与第一振动的位相差为差.
t1?0时，x1?0,v1?0,??1?2???
?，已知第一振动的振幅为60.173 m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相
题8-6图
解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知
2A2?A12?A2?2A1Acos30??(0.173)2?(0.2)2?2?0.173?0.2?3/2 ?0.01∴ A2设角AA1O为?，则
2A2?A12?A2?2A1A2cos?
?0.1m
2A12?A2?A2(0.173)2?(0.1)2?(0.02)2cos???即 2A1A22?0.173?0.1?0即???2，这说明，
A1与A2间夹角为
??，即二振动的位相差为. 22
8-7 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：
????x?5cos(3t?)cm,x?5cos(3t?)cm,1???1?33(1)? (2)?
7?4??x?5cos(3t??x?5cos(3t?)cm;)cm.22??33??7??解： (1)∵ ????2??1???2?,
33∴合振幅 A?(2)∵ ???A1?A2?10cm
4?????, 33∴合振幅 A?0
8-8 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为
??x?0.4cos(2t?)m,??16 ?5??x?0.3cos(2t?)m.2?6?试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振幅和初相，并写出谐振动方程. 解：∵ ???∴
?5?(??)?? 66A合?A1?A2?0.1m 0.4?sin5?Asin?1?A2sin?266?3
tan??1??5?A2cos?1?A2cos?230.4cos?0.3cos66?∴ ??
6?0.3sin其振动方程为
?x?0.1cos(2t?)m
6(作图法略)
习题9 机械波
9-1 振动和波动有什么区别和联系？平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同？又有什么联系？振动曲线和波形曲线有什么不同？
解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为y?f(t)；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x，又是时间t的函数，即y?f(x,t)．
(2)在谐振动方程y?f(t)中只有一个独立的变量时间t，它描述的是介质中一个质元偏离平
?衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程y?f(x,t)中有两个独立变量，即坐标位置x和时间t，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律． 当谐波方程y?Acos?(t?x)中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续u不断地振动又是产生波动的必要条件之一．
(3)振动曲线y?f(t)描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为
y，横轴
为t；波动曲线y?f(x,t)描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y，横轴为x．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图． 9-2
??x??x
y?Acos???t????0?中的u表示什么？如果改写为
??u???x?x??y?Acos??t???0?，又是什么意思？如果t和x均增加，但相应的
uu??波动方程
??x???t?????u?0?的值不变，由此能从波动方程说明什么？
????解: 波动方程中的x/u表示了介质中坐标位置为x的质元的振动落后于原点的时间；示x处质元比原点落后的振动位相；设t时刻的波动方程为 yt?Acos(?t?则t??t时刻的波动方程为
yt??t?Acos[?(t??t)??xu则表
?xu??0)
?(x??x)u??0]
其表示在时刻t，位置x处的振动状态，经过?t后传播到x?u?t处．所以在(?t?当t，x均增加时，(?t??xu)中，
?xu)的值不会变化，而这正好说明了经过时间?t，波形即向前传播
了?x?u?t的距离，说明y?Acos(?t??xu??0)描述的是一列行进中的波，故谓之行波方
程．
9-3 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同？
解: 取驻波方程为y?2Acos2??xcos??vt，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，描
述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律可表示为2Acos2??x．而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻两波节的
介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反．
9-4 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y＝Acos (Bt－Cx)，其中A，B，C为正值恒量.求：
(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；
(2)写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程；
(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差. 解: (1)已知平面简谐波的波动方程
y?Acos(Bt?Cx) (x?0)
将上式与波动方程的标准形式
y?Acos(2??t?2?比较，可知： 波振幅为波长??x?)
A，频率??B， 2?2?B，波速u????， CC12?波动周期T??．
?B(2)将x?l代入波动方程即可得到该点的振动方程
y?Acos(Bt?Cl)
(3)因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为 ???将x22??(x2?x1)
?x1?d，及??2?代入上式，即得 C???Cd．
9-5 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y＝0.05cos(10πt－4πx)，式中x，y以m计，t以s计.求：
(1)波的波速、频率和波长；
(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；
(3)求x＝0.2 m处质点在t＝1 s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相？这一位相所代表的运动状态在t＝1.25 s时刻到达哪一点？ 解: (1)将题给方程与标准式
y?Acos(2??t?相比，得振幅A?0.05m，频率?2??x)
?5s?1，波长??0.5m，波速u????2.5m?s?1．
(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为
vmax??A?10??0.05?0.5?m?s?1 amax??2A?(10?)2?0.05?5?2m?s?2
(3)x?0.2 m处的振动比原点落后的时间为
x0.2??0.08s u2.5