?12??∴ M2a3a3?0Ia2πrdr??0Ia2πln2
??12I??0a2πln2
7-9 两根平行长直导线，横截面的半径都是a，中心相距为d，两导线属于同一回路.设两导线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为l的一段自感为
L=?0ld?a. In?a
题7-9图
解： 如题7-9图所示，取dS则 ???ldr
)ldr??d?aa(?0I2rπ??0I2π(d?r)?0Il2π?d?aa?Il11d?ad(?)dr?0(ln?ln) rr?d2πad?a??0Ilπlnd?a a∴ L??I??0lπlnd?a a
7-10 两线圈顺串联后总自感为1.0 H，在它们的形状和位置都不变的情况下，反串联后总自感为0.4 H.试求：它们之间的互感. 解： ∵顺串时 L反串联时L???L1?L2?2M
L1?L2?2M
L?L??0.15H 4∴ L?L??4M
M?
题7-11图
7-11 一矩形截面的螺绕环如题7-11图所示，共有N匝.试求：
(1)此螺绕环的自感系数；
(2)若导线内通有电流I，环内磁能为多少？ 解：如题7-11图示 (1)通过横截面的磁通为 ??b
??0NI2rπahdr??0NIh2πlnb a磁链 ??N???0N2Ih2πlnb a∴ L??I??0N2h2πlnb a(2)∵ Wm?12LI 2∴ Wm??0N2I2h4πlnb a
7-12 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为I.求：导线内部单位长度上所储存的磁能. 解：在r?R时 B??0Ir2πR2
?0I2r2B2∴ wm? ?242?08πR取 dV则 W??2πrdr(∵导线长l?1)
R?R0wm2?rdr???0I2r3dr4πR40??0I216π
7-13 圆柱形电容器内、外导体截面半径分别为R1和R2(R1＜R2)，中间充满介电常数为ε的电介质.当两极板间的电压随时间的变化为移电流密度.
dU=k时(k为常数)，求介质内距圆柱轴线为r处的位dt解：圆柱形电容器电容 C?2??l R2lnR1q?CU?2??lU R2lnR1D?q2??lU?U ??S2?rlnR2rlnR2R1R1∴
j??D??t?kRrln2R1
7-14 试证：平行板电容器的位移电流可写成Id=CdU.式中C为电容器的电容，U是电容器dt两极板的电势差.如果不是平板电容器，以上关系还适用吗？ 解：∵ q?CU
D??0?∴ ?D
不是平板电容器时 D??0仍成立 ∴ ID?CCU S?DS?CU
ID?d?DdU?CdtdtdU还适用． dt
7-15 半径为R＝0.10 m的两块圆板构成平行板电容器，放在真空中.今对电容器匀速充电，使两极板间电场的变化率为
dEs).求两极板间的位移电流，并计算电容器内离两=1.0?1013V/(m·
dt?D?E ??0?t?t圆板中心联线r(r＜R)处的磁感应强度Br以及r＝R处的磁感应强度BR. 解: (1) jD?ID?jDS?jD?R2?2.8A
????(2)∵ ?H?dl??I0??jD?dS
lS取平行于极板，以两板中心联线为圆心的圆周l?2?r，则
H2?r?jD?r2??0∴ H?dE2?r dtrdE ?02dt??rdE Br??0H?002dt当r
?R时，BR??0?0RdE2dt?5.6?10?6 T
习题8
8-1 质量为10×103 kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8?t?－
2?)(SI)的规律做谐3振动，求：
(1)振动的周期、振幅、初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等？ (3)t2＝5 s与t1＝1 s两个时刻的位相差. 解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：
A?0.1m,??8?,?T?又
2?1?s,?0?2?/3 ?4vm??A?0.8?m?s?1 ?2.51m?s?1 am??2A?63.2m?s?2
(2)
Fm?am?0.63N
12mvm?3.16?10?2J 21Ep?Ek?E?1.58?10?2J
2E?当Ek?Ep时，有E?2Ep， 即
12112kx??(kA) 22222A??m 220∴ x?? (3) ????(t2?t1)?8?(5?1)?32?
8-2 一个沿x轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表出.如果t＝0时质点的状态分别是：
(1)x0＝－A；
(2)过平衡位置向正向运动；
A处向负向运动； 2A(4)过x??处向正向运动.
2(3)过x?试求出相应的初位相，并写出振动方程. 解：因为 ??x0?Acos?0
?v0???Asin?02?x?Acos(t??)
T2?3x?Acos(t??)
T22??x?Acos(t?)
T32?5x?Acos(t??)
T4将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
?1???2???3??4?32?35?4
－
8-3 一质量为10×103 kg的物体做谐振动，振幅为24 cm，周期为4.0 s，当t＝0时位移为＋24 cm.求：
(1)t＝0.5 s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x＝12 cm处所需的最短时间； (3)在x＝12 cm处物体的总能量. 解：由题已知 A?24?10m,T?4.0s ∴ ??又，t?22??0.5?Trad?s?1
?0时，x0??A,??0?0
故振动方程为
x?24?10?2cos(0.5?t)m
(1)将t?0.5s代入得
x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m
F??ma??m?2x??10?10?()?0.17??4.2?10N2方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t?3?2?3
?0时，?0?0，
A?,且v?0,故?t? 23t?t时 x0??