14、如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A,B两点，并交ST于点C。 求证：
1111?(?). P PC2PAPB
S A
C O T
15、已知：关于x的方程
2 (a?1)(x2x)?(2a?7)()?11?0 x?1x?1有实根。
（1） 求a取值范围；
（2） 若原方程的两个实数根为x1,x2，且,
2002年全国初中数学竞赛试题
一、选择题（每小题5分，共30分） 1、设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则
x1x3?2?，求a的值。 x1?1x2?111a?b的值为 a?bA、3 B、6 C、2 D、3
2、已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为
A、0 B、1 C、2 D、3
3、如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于
S四边形AGCDS矩形ABCD54D B、 6532C、 D、
43AA、
CG2
FE?B2??4、设a、b、c为实数，x＝a－2b＋，y＝b－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少
333 第21页
有一个值
A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0
5、设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是
222＜a＜ B、a＞
55722C、a＜? D、?＜a＜0
711A、?6、A1A2A3?A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于 A、a?b B、a?ab?b C、
22221?a?b? D、a＋b 2二、填空题（每小题5分，共30分）
7、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根， 则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为 。
8、已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则a?c?c?b的值为 。
9、如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝ 。
AO3
O BAO2O1 P O4C B
10、如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OA为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，
这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。
＋
11、满足(n2－n－1)n2＝1的整数n有 ___________个。
12、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为 。
第22页
三、解答题（每小题20分，共60分）
23天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，3546天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2天完成，需付160000元。现在工程由一个
713、某项工程，如果由甲、乙两队承包，2队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？
14、如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。 （1） 求证：
QDAC? EDECABQPEDCCPAC2F?（2）求证： 2PECE
15、如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。 证明：（1）2a、2b、c都是整数；
（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？
2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）
5x2?2y2?z21．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则2的值等于 ( ).
2x?3y2?10z2(A) ?119 (B) ? (C) ?15 (D) ?13 222．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮
费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）。如果所寄一
第23页
封信的质量为72.5g，那么应付邮费 ( ).
(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元 3．如下图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）.
(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°
A G A
B
D F C O C
E D B （第4题图）
4．四条线段的长分别为9，，用它们拼成两个直角三角形，且AB（第3题图） 5，x，1（其中x为正实数）与CD是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（ ）.
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个
5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ).
(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知x?1?3，那么
7．若实数x，y，z满足x?111?2?? . x?2x?4x?21117?4，y??1，z??，则xyz的值为 . zx3y
8．观察下列图形：
① ②
③ ④
根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为 . A 9．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45o，∠A=60o CD=4m，
D 第24页 B C （第9题图）
BC=46?22m，则电线杆AB的长为_______m.
10．已知二次函数y?ax2?bx?c（其中a是正整数）的图象经 过点A（－1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为 . 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.
解： A
D E P O (第11题图)
C B
12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿6 D 17 途可能经过的城市以及通过两城市之间所
需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车14 行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每
13 行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指10 出此人从A城出发到B城的最短路线（要有12 推理过程），并求出所需费用最少为多少15 11 元？
解： 5 7 18 (第12题图) 9
??C EAOFBGH 第25页