2004年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题
参考答案和评分标准
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）
221. 已知实数a?b，且满足(a?1)?3?3(a?1)，3(b?1)?3?(b?1).则bba?a的ab值为（ ）.
（A）23 （B）?23 （C）?2 （D）?13
答：选（B）
∵ a、b是关于x的方程
?x?1?2?3(x?1)?3?0
的两个根，整理此方程，得
x2?5x?1?0，
∵ ??25?4?0， ∴ a?b??5，ab?1. 故a、b均为负数. 因此
babaa2?b2b?a??ab?ab??ababab2?a?b??2abab????23.
ab2. 若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有 （ ）. （A）ab?h （B）
2111111?? （C）2?2?2 （D）a2?b2?2h2 abhabh答：选（C）
∵ a?h?0，b?h?0，
222222∴ ab?h，a?b?h?h?2h；
因此，结论（A）、（D）显然不正确. 设斜边为c，则有a?b?c，
111(a?b)h?ch?ab，即有 222111??， abh因此，结论（B）也不正确.
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由
11111a2?b2h?ab化简整理后，得2?2?2， 22abh因此结论（C）是正确的.
3．一条抛物线y?ax2?bx?c的顶点为（4，?11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正
一负，则a、b、c中为正数的（ ）. （A）只有a （B）只有b （C）只有c （D）只有a和b 答：选（A）
由顶点为（4，?11），抛物线交x轴于两点，知a>0. 设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，即为方程
ax2?bx?c?0
的两个根.
由题设xc1x2?0，知
a?0，所以c?0. 根据对称轴x=4，即有?b2a?0，知b<0. 故知结论（A）是正确的.
4．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1:2. 若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于 （ ）. （A）6 （B）8 （C）10 （D）12 答：选（B）
由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，所以
CDCA?S?CDES?232?14， ?CAB又由题设知
FDFA?12，所以 FD1AD?3， FD?13AD?13?34AC?14AC，
故FD?DC，于是
S2?CDES???1????14，S?CFG?8. ?CFG?2因此，结论（B）是正确的.
5．如果x和y是非零实数，使得
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x?y?3和xy?x3?0，
那么x+y等于（ ）.
（A）3 （B）13 （C）答：选（D）
将y?3?x代入xy?x?0，得x?x?3x?0.
（1）当x>0时，x3?x2?3x?0，方程x2?x?3?0无实根；
322（2）当x<0时，x?x?3x?0，得方程x?x?3?0
1?13 （D）4?13 2332解得x?1?131?13，正根舍去，从而x?. 22于是y?3?x?3?故x?y?4?13.
1?137?13. ?22因此，结论（D）是在正确的.
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6． 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，?BAD?60?，则?EDC? （度）. 答：30°
解：设?CAD?2?，由AB=AC知
1(180??60??2?)?60???， 2?ADB?180???B?60??60???， 由AD=AE知，?ADE?90???，
所以?EDC?180???ADE??ADB?30?. ?B?位：万人）以及两城市间的距离d（单位：km）有T?（第6题图） 7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单
kmn的关系(k为常数) . 现测得A、B、d2C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为 次（用t表示）. 答：
t 2解：据题意，有t?50?80k，
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∴k?32t. 5TBC?k?80?10032t5t???. 25642320a、b、x、y
因此，B、C两个城市间每天的电话通话次数为
（第7题图） 8．已知实数满足a?b?x?y?2，ax?by?5，则
(a2?b2)xy?ab(x2?y2)? .
答：?5
解：由a?b?x?y?2，得(a?b)(x?y)?ax?by?ay?bx?4， ∵ ax?by?5， ∴ ay?bx??1.
因而，(a2?b2)xy?ab(x2?y2)?(ay?bx)(ax?by)??5. 9． 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC (BC>AD)，
?D?90?，BC=CD=12, ?ABE?45?，若AE=10，则CE
的长为 .
答：4或6
解：延长DA至M，使BM⊥BE. 过B作BG⊥AM，G为垂足.易知四边形BCDG为正方形， 所以BC=BG. 又
?CBE??GBM，
∴ Rt△BEC≌Rt△BMG.
∴ BM=BE，?ABE??ABM?45?， ∴△ABE≌△ABM，AM=AE=10.
设CE=x，则AG=10?x，AD=12?(10?x)?2?x，DE=12?x. 在Rt△ADE中，AE?AD?DE， ∴ 100?(x?2)?(12?x)，
2即x?10x?24?0，
（第9题图） 22222解之，得x1?4，x2?6.
故CE的长为4或6.
10．实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是 .
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答：
13 3解：∵ x?y?5?z，xy?3?z(x?y)?3?z(5?z)?z2?5z?3， ∴ x、y是关于t的一元二次方程
t2?(5?z)t?z2?5z?3?0
的两实根.
∵ ??(5?z)2?4(z2?5z?3)?0，即
3z2?10z?13?0，(3z?13)(z?1)?0.
13131，当x?y?时，z?. 33313故z的最大值为.
3∴ z?三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）. 当0?x?10时，图象是抛物线的一部分，当10?x?20和20?x?40时，图象是线段.
（1）当0?x?10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36. 解：（1）当0?x?10时，设抛物线的函数关系式为y?ax?bx?c，由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），所以
2?c?20,??25a?5b?c?39, ?100a?10b?c?48.?解得，a??所以
241，b?，c?20.
55（第11（A）题图） 124y??x2?x?20，0?x?10. ???????（5分）
557（2）当20?x?40时，y??x?76.
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