13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.
CD2?BD2AD?BD?（1）当点D在斜边AB内部时，求证：. 2BCAB（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4. （1）求a，b，c中的最大者的最小值； （2）求a?b?c的最小值.
C B (第13 B题图) D A 第26页
注：13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题. 13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A和14A两题可留作考试后的研究题。
13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2?2(k?2)x?k?0（k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求
PA2?PB2?PC2的值.
解：
A O P B C (第13A题图) 第27页
14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式(a?d)(b?c)>0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.
（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a?d)(b?c)≤0？请说明理由.
（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，?，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a?d)(b?c)≤0？请说明理由. 解：（1）
6 1 2 5 4 3
（2）
2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题
参考答案与评分标准
一、选择题（每小题6分，满分30分）
第28页
1．D
由??4x?3y?6z?0,?x?3z, 解得? 代入即得.
?x?2y?7z?0,?y?2z.2．D
因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）. 3．C
如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°， 而∠BMN +∠FNM =∠D＋180°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
A G A B D C O F M C N B
E D (第4题图) (第3题图)
4．D
显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。 （1）若AB=9，当CD=x时，9?x?(1?5)，x?35；
222当CD=5时，9?5?(x?1)，x?214?1；
222当CD=1时，9?1?(x?5)，x?45?5.
（2）若AB=x，当CD=9时，x?9?(1?5)，x?313；
当CD=5时，x?5?(1?9)，x?55； 当CD=1时，x?1?(5?9)，x?197.
故x可取值的个数为6个.
5．B
设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，?，k+（n－1），由题意可知kn?222222222222n(n?1)?100，即n?2k??n?1???200. 2因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<2k+（n－1），且n与2k+（n－1）的奇偶性不同. 将200分解质因数，可知n=5或n=8. 当n=5时，k=18；当n=8时，k=9. 共有两种不同方案. 6．?3. 2?33111?41?3?2??2?2?2＝。 ??x?2x?4x?2x?4x?4x?4(1?3)2?42 第29页
7．1. 71?11z7x?3因为4?x??x?， ?x??x?3x?x?171yz?14x?31???1z3x所以 4(4x?3)?x(4x?3)?7x?3，
3. 271725132从而 z?????，y?1??1??.
3x333z55325于是 xyz????1.
253解得 x?8．161. 根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为
231+4+3×4+3?4+3?4=1+4+12+36+108=161（个）.
9．62.
如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F.
因为∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，所以CF=DF=22m， EF=DFtan60°=26（m）.
A D 因为
AB3?tan30??BE33?62（m）. 3B C F E ，所以
(第9题图) AB?BE?10.－4.
由于二次函数的图象过点A（－1，4），点B（2，1），所以??a?b?c?4,
?4a?2b?c?1,?b??a?1,解得 ?
c?3?2a.?2因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以??b?4ac?0，
(?a?1)2?4a(3?2a)?0，即(9a?1)(a?1)?0，由于a是正整数，故a?1，
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