所以，当0?x?10时，令y=36，得36??解得x=4，x?20（舍去）；
当20?x?40时，令 y=36，得36??1224x?x?20， 557x?76，解得 52004x??28. ????????（10分）
77因为2844?4?24?24，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于3677时，讲授完这道竞赛题. ????????（15分）
12．已知a，b是实数，关于x，y的方程组
?y?x3?ax2?bx, ??y?ax?b有整数解(x,y)，求a，b满足的关系式.
解：将y?ax?b代入y?x3?ax2?bx，消去a、b，得
y?x3?xy， ?????????（5分）
(x?1)y?x3.
若x+1=0，即x??1，则上式左边为0，右边为?1不可能. 所以x+1≠0，于是
x31y??x2?x?1?.
x?1x?1因为x、y都是整数，所以x?1??1，即x??2或x?0，进而y=8或y?0. 故
??x??2 或
?y?8?x?0 ?????????（10分） ??y?0当??x??2时，代入y?ax?b得，2a?b?8?0；
?y?8?x?0当?时，代入y?ax?b得，b?0. ?y?0综上所述，a、b满足关系式是2a?b?8?0，或者b?0，a是任意实数.
?????????（15分）
第41页
13．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得
PB的值. PD解：连结AP，则?APB??ACB??ADP，
?ADP??ACB，求
所以，△APB∽△ADP， ??????????（5分） ∴
ABAP?， APAD所以AP2?AB?AD?3AD2， ∴AP?所以
3AD， ??????????（10分）
（第13（A）题图） PBAP??3. ??????????（15分） PDAD2214．已知a?0，b?0，c?0，且b?4ac?b?2ac，求b?4ac的最小值.
解：令y?ax2?bx?c，由a?0，b?0，c?0，判别式
??b2?4ac?0，所以这个二次函数的图象是一条开口向下的
抛物线，且与x轴有两个不同的交点A(x1,0)，B(x2,0)，因为
c?0，不妨设x1?x2，则x1?0?x2，对称轴abx???0，于是
2ax1x2?（第14（A）题图） ?b?b2?4acb?b2?4acx1???c， ??????（5分）
2a2a4ac?b2b?b2?4acb2?4ac?c???所以， ???????（10分） 4a2a2a2故b?4ac?4，
当a??1，b=0，c=1时，等号成立.
2所以，b?4ac的最小值为4. ?????????（15分）
2005年全国初中数学竞赛试卷
题号 一 二 三 总分 第42页
1~5 得分 6~10 11 12 13 14 一、选择题(满分30分)
1.如图a，ABCD是一矩形纸片，AB=6cm，AD=8cm,E是AD上一点，且AE=6cm，操作：⑴将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；⑵将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c，则△GFC的面积为( )
EB(E)DDB(E)DAAA
G
CBFFCFC
图a图c图b
A.2 B.3 C.4 D.5
2.若M=3x2－8xy＋9y2－4x＋6y＋13(x，y是实数)，则M的值一定是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.整数
3.已知点I是锐角△ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.设A?48?(111???)，则与A最接近的正整数是( ) 32?442?41002?4A.18 B.20 C.24 D.25
25.在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数y?x?x?1的函数值中整数的个数是( ) 2A.59 B.120 C.118 D.60
二、填空题(满分30分)
6.在一个圆形的时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针(O为两针的旋转中心)。若现在时间恰好是12点整，则经过_____秒后，△OAB的面积第一次达到最大。
32m(m?0)与x轴交于A，B的两点。若A，B两4112??，则m=_____. 点到原点的距离分别为OA，OB，且满足
OBOA327.在直角坐标系中，抛物线y?x?mx? 第43页
8.有两幅扑克牌，每幅的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，?，J，Q，K的顺序排列。某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放在一起，然后从一到下把第一张丢去，把第二张放在最底层，再把第三张丢去，把第四张放在底层，??如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是_________
9.已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。连结AD
C和BE，它们交于点P。过P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分
别与边AB交于点Q，R，则△PQR的面积与△ABC的面积的比是________ E P10.已知x1,x2,x3,?x19都是正整数，且x1+x2+x3+?+x19=59，x12+x22+x32+?+x192的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于_________。
AQR
三、解答题、(满分60分)
11.8 人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人(不包括司机)。其中一辆小汽车在距离火车站15km地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。
12.如图，半径不等的两圆相交于A、B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C、D两点。连结BC、BD，设P，Q，K分别是BC，BD，CD的中点。M，N分别是弧BC和弧BD的中点。求证：(1)
DBBPNQ? (2) ①△KPM∽△NQK MPBQCADPQMB第14题图N 第44页
13. .已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2－(8p－10q)x＋5pq=0 至少有一个正整数根，求所有的质数对(p，q).
14.从1，2….，205个共205 个正整数中，最多能取出多少个数。使得对于取出来的数中的任意三个数a,b,c (a, 2006年全国初中数学竞赛试题 考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分） 1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ） （A）36 （B）37 （C）55 （D）90 22n?1?2，2．已知m?1?2，且(7m?14m?a)(3n?6n?7)=8，则a的值等于（ ） （A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9 3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y?x上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ） （A）h<1 （B）h=1 （C）1 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一 2 第45页