所以a≥2. 又因为b+c=－3a+2≤－4，且当a=2，b=－3，c=－1时，满足 题意，故b+c的最大值为－4.
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O
A 的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点
E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相
D 等？证明你的结论.
E P 解：DP=PE. 证明如下：
因为AB是⊙O的直径，BC是切线，
O 所以AB⊥BC.
由Rt△AEP∽Rt△ABC，得
EPAE? . ① ??（6分） BCAB又AD∥OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC.
故
B (第11题图) C EDAEAE2AE ② ??（12分） ???BCOB1ABAB2由①，②得 ED=2EP.
所以 DP=PE. ??（15分）
12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？
解：从A城出发到达B城的路线分成如下两类：
（1）从A城出发到达B城，经过O城. 因为从A城到O城所需最短时间为26小时，从O城到B城所需最短时间为22小时. 所以，此类路线所需 最短时间为26+22=48（小时）. ??（5分）
（2）从A城出发到达B城，不经过O城. 这时从A城到达B城，必定经过C，D，E城或F，G，H城，所需时间至少为49小
时. ??（10分）
6 综上，从A城到达B城所需的最短时D 17 间为48 小时，所走的路线为：
14 A→F→O→E→B. ??（12分） 13 所需的费用最少为：
10 80×48×1.2=4608（元）?（14分） 12 答：此人从A城到B城最短路线是A→
15 11 F→O→E→B，所需的费用最少为4608
元 ??（15分）
) (第12题图5 7 13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.
18 CEAOFB9 第31页 G H
CD2?BD2AD?BD?（1）当点D在斜边AB内部时，求证：. 2BCAB（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由. 解：（1）作DE⊥BC，垂足为E. 由勾股定理得
222222C CD?BD?(CE?DE)?(BE?DE)
22E ?CE?BE?(CE?BE)BC.CD2?BD2CE?BECEBE???所以 .
BCBCBCBC2因为DE∥AC，所以
B D A CEADBEBD?,?. BCABBCABCD2?BD2ADBDAD?BD???故 . ??（10分） 2ABABABBC（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。此时有
AD=0，CD=AC，BD=AB.
CD2?BD2AC2?AB2?BC2????1， 所以 222BCBCBCAD?BD?AB???1.
ABAB从而第（1）小题中的等式成立. ??（13分）
（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立. 作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则
2222E CD?BDCE?BE?BC2BC2
CE?BE2CE????1?,BCBCC AD?BD?AB???1, 而
ABABB A D CD2?BD2AD?BD?所以 . ??（15分） 2ABBC〖说明〗第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清
者不扣分）.
14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.
（1）求a，b，c中的最大者的最小值；
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（2）求a?b?c的最小值.
解：（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0， 且b+c=2-a，bc?4. a2于是b，c是一元二次方程x?(2?a)x?4?0的两实根， a4??(2?a)2?4?≥0，
aa3?4a2?4a?16≥0，(a2?4)(a?4)≥0. 所以a≥4. ??（8分）
又当a=4，b=c=-1时，满足题意.
故a，b，c中最大者的最小值为4. ??（10分） （2）因为abc>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负.
1） 若a，b，c均大于0，则由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛
盾.
2）若a，b，c为或一正二负，设a>0，b<0，c<0，则
a?b?c?a?b?c?a?(2?a)?2a?2，
由（1）知a≥4，故2a-2≥6，当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立。故a?b?c的最小值为6. ??（15分）
13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x?2(k?2)x?k?0（k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点. 若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求
2PA2?PB2?PC2的值.
解：设方程x?2(k?2)x?k?0的两个根 为x1，x2，x1≤x2.由根与系数的关系得
2 A x1?x2?4?2k， ①
P B O C x1x2?k. ②
由题设及①知，x1，x2都是整数. 从①，②消去k，得
(第13A图) 2x1x2?x1?x2?4，
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(2x1?1)(2x2?1)?9.
由上式知，x2?4，且当k=0时，x2?4，故最大的整数根为4. 于是⊙O的直径为4，所以BC≤4.
因为BC=PC－PB为正整数，所以BC=1，2，3或4. ??（6分） 连结AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以PAB∽△PCA，
PAPC?。 PBPA故 PA2?PB(PB?BC) ③ ??（10分） （1）当BC=1时，由③得，PA?PB?PB，于是
22PB2?PA2?(PB?1)2，矛盾！
（2）当BC=2时，由③得，PA?PB?2PB，于是
22PB2?PA2?(PB?1)2，矛盾！
22（3）当BC=3时，由③得，PA?PB?3PB，于是
(PA?PB)(PA?PB)?3PB，
由于PB不是合数，结合PA?PB?PA?PB，故只可能
?PA?PB?1,??PA?PB?3PB,?PA?PB?3,?PA?PB?PB, ???PA?PB?PB,?PA?PB?3,?PA?2,解得 ?
PB?1.?222此时 PA?PB?PC?21.
（4）当BC=4，由③得，PA?PB?4PB，于是
22(PB?1)2?PB2?4PB?PA2?(PB?2)2，矛盾.
综上所述
PA2?PB2?PC2?21. ??（15分）
14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式(a?d)(b?c)>0，
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那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.
（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a?d)(b?c)≤0？请说明理由.
（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，?，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a?d)(b?c)≤0？请说明理由.
解：（1）答案是肯定的. 具体操作如下： 1 1 1 6 2 6 3 6 (3－5)(2－4)>0 (1－4)(2－3)>0 交换2，4 交换2，3 5 3 5 5 2 4 4 2
1 1 4 4
6 6
(3－6)(2－5)>0 (1－2)(3－4)>0
交换2，5 交换3，4 ??（5分）
5 2P . ??（7分）3 （2）答案是肯定的. 考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为3 2 5 3 4 开始时，P0=1×2+2×3+3×4+?+2002×2003+2003×1，经过k（k≥0）次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk，此时若圆周上依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式(a?d)(b?c)>0，即ab+cd>ac+bd，交换b，c的位置后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk?1，有
Pk?1?Pk?(ac?cb?bd)?(ab?bc?cd)?ac?bd?ab?cd?0.
所以Pk?1?Pk??1，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1，由于相邻两数乘积总大于0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数a，b，c，d，一定有
(a?d)(b?c)≤0. ?
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