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第一篇 MIDAS/GTS的分析功能
5.2 固结分析
固结分析是与排水/非排水分析密切相关的分析功能。固结分析与非排水相同是分析水在荷载作用下产生的过孔隙水压随时间变化的过程。
没有及时排除的承受荷载的水随着时间的推移会逐渐通过边界流出，过孔隙水压力也会随时间减小，土壤骨架随之产生变形。土壤骨架上有效应力也会随之增加。
固结分析中随着时间的变化过孔隙水压会逐渐减小，有效应力会逐渐增加，地基会沿着重力方向发生沉降。而土壤的密度、刚度、强度则随着时间的变化会增加，几乎不会发生破坏。一般来说固结分析前要做非排水分析，非排水分析时没有发生破坏时固结分析中也不会发生破坏。
5.2.1 固结分析的基本方程
固体和流体的分析一般是分开计算或进行叠加计算，但比奥特(Biot)提出了土力学上使用的流固耦合分析理论。地基被视为具有孔隙的弹性固体，孔隙内的流体具有可压缩性和连续性与固体相连。 比奥特(Biot)的基本方程式如下。 K??2uw??kxx2?k?2uw?2uw??uw?py?y2?kz?z2????t??t (1.84)
w??
其中，K是地基的体积模量，p是平均总应力。
为了简化公式，假设为二维状态。在平衡条件中没有单元荷载时，有效应力的变化率将随着孔隙水压的变化而变化。
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???xy?uw??x???0?x?y?x
??uw??xy??y???0?x?y?y (1.85)
假定最终饱和以及非压缩，则从地基流出的水将减少单元的体积。
由公式(1.84)可得如下公式。
?qx?qyd??u?v??????? ?x?ydt??x?y? (1.86)
kx?2uwky?2uwd??u?v???????0
?w?x2?w?y2dt??x?y? (1.87)
5.2.2 有限元方程 与一般的位移法相同，?和?用u和v代替，最终耦合的变量(coupled
variables)是u、v和uw。这些参数用有限元离散化公式表示如下：
u?Nu v?Nvuw?Nwuw
(1.88)
其中，u,v,uw分别是节点位置的x、y方向的位移和孔隙水压，N,Nw分别是位移和孔隙水压的形函数。
对位移可使用高阶形函数，但孔隙水压使用线形形函数。
将平衡和连续性的基本方程用伽辽金(Galerkin)方法用有限元表现如下：
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Ku?Cuw?p
du (1.89)
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CTdt?Kwuw?0
其中，C是的表达式如下： ???Nj?xNidxdy
将上面的有限元方程使用有限差分法对时间积分； ?Ku1??Cuw1????1?Ku0????1?Cuw0?p?CTu1??2?tKwuw1??CTu0?????1??tK wuw0
其中，假设荷载p对时间是不变量。
使用完全隐式方法(??1)，则上式将变为下面公式。 ?KC???u0??u0?CT??tK?1??0??w?u???w1??CT0???p??u???0 ??? w0???
(1.90)
(1.91)
(1.92)
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6. 动力分析 6.1 特征值分析
6.1.1 特征向量分析
在MIDAS/GTS中为了计算非衰减自由振动条件下的振型形状(mode shape)和固有周期(natural periods)使用的特征方程如下：
其中，
K?n??n2M?n
(1.93)
K : 结构的刚度矩阵(stiffness matrix)
M : 结构的质量矩阵(mass matrix)
2 : 第n个振型的特征值(eigenvalue) ?n? n
: 第n个振型的振型向量(mode vector)
特征值分析也叫自由振动分析(Free Vibration Analysis)，用于分析结构固有的动力特征。
通过特征值分析，得到结构的主要动力特性包括：振型（或振型形状），自振周期（自振频率），振型参与系数(Modal Participation Factor)等，它们由结构的质量和刚度所决定。
振型(Vibration Modes)是结构进行自由振动（或变形）时的固有现象。振型变化所需的能量（或力）由小到大排列，表示为第一阶振型（基本振型），第二阶振型，第n阶振型。图1.13是悬臂梁从低阶振型（用较少的能量实现的变形）到高阶振型的图形示意。
自振周期是与振型对应的物体固有的性质，它表示结构在自由振动状态下，按该振型形状振动1次所需的时间。
以下是求解单自由度体系的自振周期的方法。假设单自由度体系运动方程式中的荷载
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项和阻尼项为0，则方程式蜕化为自由振动方程式。
mu?cu?ku?p(t)mu?ku?0 (1.94)
其中u是振动引起的位移，假设u?Acos?t(其中A是与初始位移相关的常量)，则上面公式变为
(?m?2?k)Acos?t?0
(1.95)
上面公式恒等的条件是左面括号项应为零，所以特征值如下：
?2?k??k1
mmf??2?T?f(1.96)
其中，
?2 : 特征值(eigenvalue)
?
: 固有圆频率(rotational natural frequency)
f : 固有频率(natural frequency)
T
: 固有周期(natural period)
(a) 固有振型形状