第一篇 MIDAS/GTS的分析功能
反复迭代计算的目的是将向量r减少到接近于零，最终应力应满足屈标准。将假定的弹性应力按台劳(Taylor)级数展开。 rn?ro????Dea
且，
? : ?的变化量
? : d?的变化量
将上式设为零，解?，得下面公式。 ???ro??Dea
将屈服函数使用台劳展开，得 ?FT FCn?FCo??????F???p?FCo?aTC??h??0p
且，?p: 有效塑性应变。
由此可得?(公式1.34)，进一步可计算最终应力。 T
??Fo?aroaTDea?h
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(1.31)
(1.32)
(1.33)
(1.34)
第一篇 MIDAS/GTS的分析功能
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1.3.5 非线性方程的迭代计算方法
在前面已经讲述了线性分析的有限元平衡方程式。但是当材料为非线性时，整体刚度矩阵K将变成非线性，需要使用反复迭代计算方法解非线性方程式。
一般来说，非线性分析就是查找荷载作用下的结构的平衡状态。在任意阶段i的平衡问题可归纳为公式(1.35)。 ir?ip?ifint?iu??0
(1.35)
且，
ir : 节点不平衡力
ip : 外部荷载 ifint : 由单元应力计算的内力 iu : 节点位移
迭代过程从假设的平衡状态开始分析，不平衡力(
i?1r)视为零，外部荷载(ip)是已
知的外部荷载，内力(ifint)从单元应力计算而得?BT?dV。
利用公式(1.35)反复迭代计算，最后获得收敛解。解非线性方程式的方法有很多，MIDAS/GTS中提供了初始刚度法(constant stiffness method)和Newton-Raphson。
(1) 初始刚度法 使用弹性初始刚度解方程式。节点位移的反复计算公式如下: Kie?uie?r
(1.36)
或者 ?ui?1rie?Ke
(1.37)
在j阶段的第i次迭代过程中计算的位移如下：
第一篇 MIDAS/GTS的分析功能
第一次生成整体刚度矩阵后计算其逆矩阵，每次迭代中仅反复计算不平衡节点力r较好且迭代速度也较快。迭代计算过程参见图1.9。
iju?j?1k u???uek?1i (1.38)
和反复使用公式(1.37)。该方法使用初始刚度矩阵，所以收敛速度较慢。但是收敛性
End of load incrementLoad?a1?a2?a3Start of load incrementDisplacment
图1.9 初始刚度法(Constant Stiffness Method)
MIDAS/GTS中使用的是既保留了初始刚度法的收敛性好和快速的迭代计算的优点，又加快了收敛速度的由托马斯(Thomas)建议的修正的加速法(acceleration with modified Thomas method)。该方法中的第i次迭代的位移增量公式如下:
?ui??ui?1??i?uie
且，
(1.39)
?ui : 当前阶段中到第i次迭代计算总的位移增量。
?uie : 当前迭代计算的弹性位移增量。
不平衡方程式如下：
且，
ri?ri?1??iKep?uie
(1.40)
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ri
: 第i次迭代计算时的不平衡力。
Kep : 弹塑性刚度
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其中?iKiiiep?ue项对应的是由位移??ue得到的内力的增量。如公式(1.41)切线刚度矩阵可分为弹性和塑性成分。
Kep?Kep??ui?1??Ke?Kp??ui?1??Ke?Kp (1.41)
同样可将公式(1.39)分解为弹性和塑性成分。 ?ui??ui?1??uie??uip
(1.42)
重新整理塑性位移增量如下：
?uii?1?1?1p??KeKp?uie??i?1Ke?Ke?Kep??uie??i?1?ui??i?1K?1Ki (1.43)
eeep?ue
将公式(1.43)代入(1.42)得到如下公式:
?ui??ui?1??i?1?ui?1e?Ke?ri?1??i?1Kep?uie?
??ui?1??i?1?ui?1i?1e?Ker??u??i?1?uie? (1.44)
??ui?1??i?1?uie??uie将公式(1.39)和(1.44)组合得到如下公式： ?i?uie??i?1?uie??uie
(1.45)
对公式(1.45)使用最小自乘法，则可得到与修正的托马斯加速因子相同的下面的公式。 iTi
?i??i?1??ue?ue?uiT?ui (1.46)
ee
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使用修正的托马斯加速法的收敛速度比一般的初始刚度法快五倍以上，但是稳定性要低一些。
(2) Newton-Raphson 法 Newton-Raphson法是将公式(1.35)象下面公式那样迭代计算。
ri?1?ri??ri?u?ui
(1.47)
且，i是迭代次数。
某j阶段的迭代过程使用的初始位移为上一阶段(j-1阶段)结束时的位移。 ju1?j?1u
公式(1.47)的微分表达式如下：
?r?u??fint?u?KT (1.48)
且，KT= 切线刚度矩阵。
针对节点位移的迭代计算公式如下： KiiT?u?ri
或 ?ui?KiiTr
第j阶段的第i次迭代计算的位移结果如下： jiu?j?1u???uk
(1.49)
k?1
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