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第一篇 MIDAS/GTS的分析功能
应力始终要在屈服面上，所以要满足下面的协调条件(consistency condition)。
微小的应变变化率如下：
d??Cd??d?Ca
????De?DeaaTDeTd?aTDea?h?d?
(1.22)
??
使用完全牛顿-拉普森(Newton-Raphson)迭代计算时，使用协调刚度矩阵(consistent stiffness matrix)会加快收敛速度。
d??Cd??d?Ca??C?a??d? ????R?RaaTRTd??aTRa?h?d
(1.23)
??
且，R????I?d?De?a?1D1?e?I?d?DeADe
?????????
1.3.4 应力积分
应力积分使用显式前进欧拉方法和隐式后退欧拉方法。
A. 显示前进欧拉方法
(explicit forward euler algorithm with sub-incrementation) B. 隐式后退欧拉方法
(implicit backward euler algorithm)
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(a) 交点A的位置
(b) 由A沿切向移动到C后修正到D
图1.6 显式前进欧拉方法
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图1.7 显式前进欧拉方法的子增分(sub-incrementation)
图1.8 隐式后退欧拉方法
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显式方法中塑性流动的方向是在交叉点，即弹性应力增量穿过屈服面的点(图1.6的A)计算的，而隐式方法是在最终应力点(图1.8的B)上计算的。
显式方法相对简单且直接对应力积分，即不必在高斯点(gauss point)反复迭代计算，但也有下列缺点。
① 在一定条件下才能稳定。
② 为了满足准确度，在修正应力过程中需要子增量积分。 ③ 为了修正偏离屈服面的程度需要使用人为回归方法。
另外，使用该方法不能构成协调刚度矩阵(consistent stiffness matrix)。但是隐式方法不必使用子增量或人为回归方法也可以得到较为精确的结果，并且与给定的条件无关相对稳定。但是隐式方法需要在高斯点进行反复迭代计算。使用隐式方法可以构成协调刚度矩阵，使用Newton-Raphson方法计算，也可以提高迭代计算的效率。
(1) 显式前进欧拉方法的步骤 Step-1 : 计算应变增量。
d??Bdu
(1.24)
且，
B
: 应力-应变关系行列式
du : 位移的变化量
Step-2 : 计算假定为弹性变形的弹性应力(图1.6(a)的B点)。
公式(1.25)和(1.26)的角标参见图1.6。
Step-3 : 计算得到的应力在屈服面以内时，则完成应力修正；如果在屈服面外则根据塑性变形回归到屈服面。
d??Ded??B??X?d? (1.25)
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Step-4 : 计算交叉应力。弹性应力的增量可分为容许应力增量和不容许的应力增
量，交叉应力使用下面公式计算(参见图1.6(a)的A点)。
F??X??1?r?d???0r?FB
(1.26)
FB?FX
Step-5 : 屈服后应力点在屈服面上移动，可使用m个不允许的应力增量rd?近似模拟
(参见图1.7)。子增量的数量与误差的大小有关，使用下面公式计算。 m?INT?8??eB??eA??eA??1
(1.27)
Step-6 : 最终应力状态不在屈服面上时，使用人为回归方法移动到曲面上(参见图1.7的E点)。
??FCC?aTeCDaC?h
(1.28)
???eD??C?CDaC 注意:
① 屈服面的形状使用各子增量的结束点使用硬化法则修正。 ② 卸载(unloading)时假设为弹性。
(2) 隐式后退欧拉法则的步骤 隐式方法使用下面公式计算最终应力，角标参见图1.8。 ?C??B?d?DeaC
(1.29)
公式中C点是未知点，使用Newton Raphson方法反复迭代计算。任意向量r为当前的应力与后退欧拉应力间的差。
r??C???B?d?DeaC?
(1.30)