第一篇 MIDAS/GTS的分析功能
三维条件下，材料的应力-应变关系如下：
??x??1/E??y????/E?????z????/E??????xy??0??yz??0??????zx????0??/E1/E??/E000??/E??/E1/E00000000???x?0???y????000???z???? (1.11)
1/G00???xy?01/G0???yz????001/G?????zx??
将上述矩阵求逆得
??x???y?????z??????xy???yz?????zx???
且，A? 即
??1?????1?????1????A?00?0?000??000?E(1?2?)(1??)0000.5??0000000.5??0???x?0???y????0???z???? 0???xy?0???yz????????zx??0.5???0 (1.12)
??D?
(1.13) (1.14)
(?x??y??z)/3?K(?x??y??z)
且， K?E
3?1?2??
11
12
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变形协调方程的D矩阵如下:
?D1D2D2000???D2D1D2000???D2?D2D1000? (1.15)
?000D300? ???0000D30???00000D?3?? 且，
D1?K?(4/3)GD2?K?(2/3)G
(1.16)
D3?G
1.2. 非线性弹性分析
岩土分析中的非线性弹性(nonlinear elastic)和弹塑性(elastoplastic)材料特性均属于材料非线性分析。所谓材料非线性是指应力与应变关系的非线性。
非线性弹性材料是指材料的弹性特性随分析结果而变
，
其代表为像邓肯-张模型
(Duncan-Chang model)这样的双曲线模型(hyperbolic model)。该模型的应力-应变关系为双曲线形状，基床系数是地基的约束 (confinement)应力和剪切应力的函数。非线性材料模型的参数可以通过三轴试验或文献中较为容易地获得，所以被应用于很多研究当中，但是其缺点是不能考虑破损后的刚度降低。
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?Hyperbolic curve? 图 1.4 引自: Duncan-Chang model 应力-应变曲线
1.3. 弹塑性分析
地基分析也可以概括为对判断在已知荷载作用下“地基具有多少安全度”的问题和“地基可以发生多大的变形”的问题。如果说线弹性分析是分析变形能力 (deformability)，则弹塑性分析则是同时分析稳定性(stability)和变形能力。地基的稳定性一般由剪切强度决定，变形能力由弹性特性和剪切特性决定。荷载作用大于地基的剪切强度时地基将产生塑性区域，随着塑性区域的发展最后达到破坏状态。但是不能说产生了塑性区域结构就一定不稳定，因为被弹性区域包围的塑性区域 (confined yield zone)不能生成破坏面，这样的局部破坏不一定会发展成为整体破坏。
使用荷载作用下产生的累加位移计算得应变包括弹性应变和塑性应变。
???e??p
且，
(1.17)
? : 总应变
?e : 弹性应变 ?p : 塑性应变
在计算公式中将要使用的基本概念如下：
① 塑性变形的屈服标准 (yield criteria) ② 定义塑性变形用的流动法则 (flow rule) ③ 变形硬化的硬化法则 (hardening rule)
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1.3.1. 屈服标准 14
定义弹性区域的边界的屈服函数(或者荷载函数)F如图1.5所示。
F(?,?p,?)??e(?,?p)??(?p)?0 (1.18) 且，
? : 当前的应力
?e : 等效(equivalent)或有效(effective)应力
? : ?p的硬化因子
?p : 等效(equivalent)塑性应变
塑性理论中屈服函数的值为正的应力状态是不存在的。产生屈服时，塑性变形逐渐累加直到屈服函数减少到零时，应力状态要不断修正。这样的过程叫塑性修正(plastic corrector)阶段或蜕化映射(return mapping)。
d?p???F??aSmoothg?Plastic potential???F????0?a?,d?p?dbd?p 图 1.5 关联流动准则与奇异点
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1.3.2 流动准则
使用图1.5的流动准则定义塑性变形。
d?p?d?且，
?g ?d?b
?? (1.19)
?g : 塑性变形的方向 ??d? : 定义塑性变形大小的塑性系数
函数g为“塑性势能(plastic potential)”，一般使用应力不变量(stress invariant)定义。另外，塑性势能函数g与屈服函数F相同时，即g=F时称为“关联流动(associated flow)准则”，g≠F时称为“非关联流动(non-associated flow) 准则”。
MIDAS/GTS的所有材料模型使用关联流动准则，即塑性应变向量垂直于屈服面，所以上面公式可以使用下面公式表现。
如图1.5所示在图中角点或平面上，产生不能确定塑性流动的方向的奇异点(singular point)，对这些点需要做特殊处理。
1.3.3 本构方程
d?p?d??F?d?a ?? (1.20)
标准塑性本构方程(constitutive equation)形成步骤如下。
应力由应变变化率向量的弹性部分决定，即
d??Ded??d?p?De?d??d?a?
?? (1.21)
且， De: 弹性刚度矩阵
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