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第一篇 MIDAS/GTS的分析功能
3.2 非稳定流分析
非稳定流分析(transient seepage analysis)的内部和外部边界随时间发生变化。
非稳定流分析与稳定流分析的区别除了边界条件随时间的变化外，非稳定流分析中使用体积含水率(volumetric water content)，以及与地下水位的变化速度密切相关的非饱和区域的含水率和孔隙率。
比较土坝在干燥状态下蓄水(water filling of reservoir)与具有一定含水率状态下的蓄水时可知两种状态下土坝内部渗流达到稳定的时间有较大差异。
3.3 流动法则
MIDAS/GTS中使用的流动法则为达西定律，单位面积的渗透流量公式如下： q?ki
(1.61)
且，
q
: 单位面积的渗透流量 k : 渗透系数 i
: 水力坡降
达西定律起源于饱和土的渗透分析中，后来推广到非饱和土的渗透分析上。两种状态土的区别是非饱和土的透水系数不是常数，而是间接地随着孔隙水压的变化而变。
达西法则也可以用下面公式表示。 v?ki
(1.62)
其中，v是达西速度，水在土壤中流动时，实际平均速度是达西速度除以土的孔隙率。
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3.4 基本方程式
在MIDAS/GTS中的流动基本方程式如下:
其中，
??H??H??H?? (1.63) (kx)?(ky)?(kz)?Q??x?x?y?y?z?z?tH : 总水头
: x方向的渗透系数 : y方向的渗透系数 : z方向的渗透系数 : 流量 : 体积含水率 : 时间
kx
kz kyQ
? t
该方程假定在任意位置、任意时刻微小体积的流入和流出的变化量与体积含水率的变化量相同。简单地说，x、y、z方向的流量变化与流量之和与体积含水率的变化相同。
上述基本方程表现的是非稳定流的渗透方程，而稳定流状态中流入和流出量随时间没有变化，所以公式右边为零。
体积含水率的变化依赖于应力状态的变化和土特性的变化。
饱和非饱和状态的应力状态使用(?
MIDAS/GTS的渗流分析在假定总应力不变的情况下进行的，即土壤本身没有加载和卸载。因为没有加载，所以在非稳定流流动过程中孔隙大气压力是不变的，也就是说 应力，ua孔隙大气压力，uw是孔隙水压力。
??x(kx?H?x)???y(ky?H?y)???z(kz?H?z)?Q?0
(1.64)
?ua)和(ua?uw)两个参数表现。此处?是全
(??ua)是常量，对体积含水率的变化没有影响，所以体积含水率仅与(ua?uw)的变化有关，因为ua是常量，所以体积含水率的变化仅与孔隙水压的变化相关。
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体积含水率的变化与孔隙水压变化的关系如下： ???mw?uw
(1.65)
其中 mw是阻流系数。
另外，全水头可视为压力水头和位置水头的和。 H?uw??z
(1.66)
w
其中，
H : 全水头 u: 孔隙水压 ?w
w : 水的容重 z
: 标高
重新整理公式(1.65)，得下面公式。 uw??w?H?z?
(1.67)
将公式(1.67)代入公式(1.65)，得下面公式。 ???mw?w??H?z?
(1.68)
将公式(1.68)代入公式(1.63)，得下面公式。 ??H?H?H?x(kx?x)???y(ky?y)???z(kz?z)?Q?m??H?z?w?w?t (1.69)
标高一定时，对时间的导函数为零，变成下面的方程是。
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??x(kx?H?x)???y(ky?H?y)???z(kz?H?z)?Q?mw?w?H?t (1.70)
3.5 有限元方程
使用加重残差(weighed residual)的伽辽金(Galerkin)法表现基本方程的有限元方程式如下。
???B??C??B??dV?H???TVV??NTN?dV?H?,t?q?A?NT?dA(1.71)
其中，
?B? ?C?: 动水坡度矩阵 : 单元渗透系数矩阵 : 节点水头向量 : 形函数向量 : 单元边的单位重量
: 非稳定流的阻流项 : 随时间变化的水头
?H?
N
q
??mw?w
?H?t?,
?h?t
化为如下公式。
在MIDAS/GTS的二维分析中认为所有单元的厚度都相同。所以二维有限元方程式可简
??
A??B??C??B??dA?H??????TANTN?dA?H?t?q???,LNT?dL(1.72)
其中，?是单元厚度。
将有限元方程用简化方式表现如下：
?K??H???M??H?t??Q?
, (1.73)
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其中，
公式(1.73)是非稳定流分析的基本的有限元方程式。稳定流分析的水头不随时间变化，所以[M]{H},t项将消失，公式变成如下形式。
???B??C??B??dA
N?dA ?M? : 质量矩阵 = ????N ?Q? : 流量向量 = q???N?dL
?K? : 单元特性军阵 = ?ATATTL?K??H???Q?
(1.74)
3.6 时间积分
非稳定流分析的有限元解是时间的函数，时间的积分可使用有限差分方法。
有限元方程式使用有限差分法表达如下：
???t?K???M???H???t??1????Q????Q?????M???1????t?K???H?1010 (1.75)
其中，
?t
: 时间增量 : 0-1之间的比值。 : 时间增量结束时的水头 : 时间增量开始时的水头 : 时间增量结束时的节点流量 : 时间增量开始时的节点流量 : 单元特性矩阵 : 单元质量矩阵
? ?H1? ?H0? ?Q1? ?Q0? ?K? ?M?42