相加得：an?a1?1121?()???()n?1 2221?1n?1?1?()?2?2??1?(1)n?1 ??121?2?an?2?1 2n?1若?an?f(n),求an用累加法，
点拨：在递推关系中若an?1an?1若an?1?pan?q，?f(n),求an用累乘法，
an求an用待定系数法或迭代法。
数学门诊
已知Sn是数列列
?an?的前n项和，且满足Sn2?3n2an?Sn?12，其中an?0,n?2,3,4?，又a1?2，求数
?an?的通项公式。
2错解：当n?2时，由已知得Sn又an?Sn?1?3n2an,
2?Sn?Sn?1?0，所以Sn?Sn?1?3n2
于是Sn?2?Sn?1?3(n?1)2两式相减得，
Sn?1?Sn?1?6n?3，即 an?1?an?6n?3
于是an?2所以
?an?1?6n?9 所以两式相减得 an?2?an?6
a1,a3,a5,? 成等差数列，公差为6， a2,a4,a6,?,也成等差数列，公差为6，从而
a1,a2,a3,a4,a5,a6,?成等差数列，公差为6，
所以，an?2?(n?1)?6?6n?4
22?Sn?1?3n2an, 又an?Sn?Sn?1?0，
正解：当n?2时，由已知得Sn所以Sn?Sn?1?3n2
于是Sn?1于是an?2
?Sn?3(n?1)2，两式相减得：Sn?1?Sn?1?6n?3，即an?1?an?6n?3 ?an?1?6n?9，所以an?2?an?6，又S2?S1?12，所以a2?8
6
又a3?a2?15，所以a3?7
则n?2k时
an?a2k?a2?(k?1)?6?6k?2
?6?n?2?3n?2 2n?2k?1时，an?a2k?1?a3?（k?1）?6
?6k?1?6??3n?2n?1?1 2?2?an??3n?2?3n?2?
（n?1）（n为偶数）
（n为大于1的奇数）总结提高
1． 给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一 2． 由Sn求an时，要分n=1和n?2两种情况
3． 数列是一种特殊函数，因此通过研究数列的函数性质（单调性）来解决数列中的“最大项”与“和最
小”等问题十分有效。
4． 给出Sn与an的递推关系，要求an，常用思路是：一是利用Sn?Sn?1?an （n?2）转化为an的
递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an。
课堂演练
1． 若数列A．an?an?的前n项的Sn?3an?3，那么这个数列的通项公式为（ D ） 2?2?3n?1 B．an?3?2n Ｃ．an?3n?3 Ｄ．an?2?3n
解：n=1时，a1?S1?3a1?3a1=6 233\n?2\时，an?Sn?Sn?1?(an?3)?(an?1?3)
22n?1?an?3an?1?an?a1?32．已知数列
?2?3n
?an?满足a1?0，an?1?an?33an?1 （n?N），则a20??（ B ）
7
Ａ．0 Ｂ．?3 Ｃ．3 Ｄ．
3 2解：a1?0，a2??3?33?(?3)?10?33?0?10?33?0?1??3，
a3??3，a4?0，
a5???3 ，?， 所以
an?3?ana20?a3?6?2?a2??3
3.定义一种运算“﹡”，对于n?N满足以下运算性质：1?1=1，(n?1)?1?3(n?1)，则，n?1用含n的代数式表示为：34.设
n?1?
a1,a2,?,a50从?1,0,1这三个整数中取值的数列，若a1?a2???a50?9且
(a1?1)2?(a2?1)2???(a50?1)2?107则a1,a2,?,a50中有0的个数为11 解
：
设
有
n个0，则由
(a1?1)2?(a2?1)2???(a50?1)2?10有
(a12?a22???a502)+2(a1?a2+?+ a50+50=107, ?a12?a22???a502?39.
所以在a1,a2,?,a50中有39个1或-1， 所以在a1,a2,?,a50有11个0。 5.已知数列
?an?满足a1?1,
an?3n?1?an?1,(n?2)，
错误！未找到引用源。求a2和a3
3n?1错误！未找到引用源。证明：an?
2解：(1)∵a1?1, ∴a2?3?a1?4 a3?32?a2?13.
?an?1?3n?1 有
8
错误！未找到引用源。证明：由已知an
an?（an?an?1）?（an?1?an?2）???（a2?a1）?a16.已知数列
?3n?1?3n?23n?1???3?1?
2?an?中，an?（n?2）（?9n）试问n 取何值时，an取最大值？并求此最大值． 10（n?3）（?9）n?1解：因为
an?1?109n?3an（n?2）（?9???2 n10n10）当且仅当n?7时，
an?1a?１，即a8?a7 n所以当n?7时
an?1a＞１，即 nan?1?an 即a7?a6?a5???a1
当n?8时，
an?1a?1 an?an?1 n即a8?a9?a10??
故当n?7或8时，an最大，
8(an)?a9max7?a8?107
课外练习
一、选择题
１.数列3，-5，7，-9，11，?的一个通项公式是（ D ）
A．ann?(?1)?(2n?1)B．an?(?1)n?1?(2n?1)C．an?(?1)n?(2n?1)
D．an?(?1)n?1?(2n?1)２.已知数列
?an?中a1?2，
an?1?3an?1，（n?N?）则a4的值为（ A ） A．67 B．22 C．202 D．201 3设an?1?1n?2???12n?1，(n?N?n?1)，则an?1与an的大小关系是( C ) A．an?1?an B．an?1?an
9
C．an?1?an D．不能确定
解：因为
a1n?1?an?2n?2?12n?3?1n?1?11
2n?3?2n?2?0所以an?1?an，选Ｃ．
?1． 若数列
???2a1an,(0?an?n?满足：an?1?2)， ??2a(1n?1,2?an?1)a61?7，则a20的值为（ Ｂ ） ?解：a?2a1n,(0?an??1??2)??1，a1?17???1n?2，１? ?2an?1,(2?an?1)?a2?2a51?1?7???1?2，1??? a3?2a32?1?7???1??0，2??a64?2a3?7???1?2，1???
a1?55?2a4?7，?由此猜想：an?3?an
所以a520?a3?6?2?a2?7，选Ｂ 二、填空题 5．已知数列
?a的前n项和Sn2?4n?1，则a?n?n?n???2,(n?1)?2n?5,(n?2)
6．已知数列?an?中，a1?2，a2?3，an?2?3an?1?2an,a7?65 解:
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