Tn?b1?b2???bn?1?11111?2??(1?3)?(3?5)???(2n?1?2n?1)???12(1?1n2n?1)?2n?1点拨：根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式。 二、公式的应用 例2：设等差数列?an?的首项a1及公差d都为整数，
前n项和为Sn
错误！未找到引用源。若a11?0，S14?98，求数列
?an?的通项公式
错
误
！
未
找
到
引
用
源
。
若
a1?6，a11?0，S14?77，求所有可能的数列
?an?的通项公式
解：错误！未找到引用源。
由S14?98，得2a1?13d?14又a11?a1?10d?0
解得d??2，a1?20所以数列
?an?的通项公式是：
an?22?2n(n?N?)
错误！未找到引用源。
?S14??2a1?13d?11由?77?a有?0?11?0?a?1?10d??a1?6?a1?6?2a
1?○
1 即?13d?11??2a1?20d?0?○2 ??2a1??12○
3 由错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。
得?7d?1，即d??1117d??13
?117?d??113，又d?Z，
10?a1?12，a1?Z
所以a1=11或a1=12 故所有可能的数
?an?的通项公式是：
an?12?n和an?13?n（n?N?）
点拨：准确灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式，提高运算能力。 三、性质的应用 例3：已知等差数列
?an?中，公差d>0
前n项和为
Sn，且满足：a2a3?45，a1?a4?14，
错误！未找到引用源。求数列的通项公式；
错误！未找到引用源。设bn?Snn?c，一个新数列
?bn?，若?bn?也是等差数列，求非零常数c；
错误！未找到引用源。求
f(n)?bn(n?25)bn?1（n?N?）的最大值
解：
?an?为等差数列，?a1?a4?a2?a3=14
又a2?a3?45，由d?0，a2?a3
?a2?5，a3?9，?d?4，a1?1 ?an?1?(n?1)4?4n?3
∴数列
?an?的通项公式为an?4n?3
错误！未找到引用源。由错误！未找到引用源。知：Sn(n?1)?4n?n?1??2n22?n所以b?Sn2n2?nnn?c?n?c 所以b16151?1?c，b2?2?c，b3?3?c因为
?bn?为等差数列，所以b1，b2，b3成等差数
16
列，所以
2b2?b1?b312115?? 2?c1?c3?c1所以c??，c?0（舍去）2所以故所求非零常数c??，且bn?2n
所以3a5?8(a5?7d)，a5??所以d?0,，所以a1??可知
56d?0576d?05
?an?是首项为正数的递减数列。
12错误！未找到引用源。值：
f(n)?bn的最大
(n?25)bn?1n?N?，f(n)?bn(n?25)bn?1??76?d?（n?1）d?０??an?0?5由?即?76a?0，?n?1??d?nd?0?5??7681??n?，又n?N?
55?n?16，所以S16最大．正解：当n?16时，a162nn??2 (n?25)?2(n?1)n?26n?2511??2536n??26n251n? n?5 f(n)max?
n36点拨：错误！未找到引用源。利用等差数列的“等和
性”求出a2，a3，从而求出a1，d及通项公式； 错误！未找到引用源。先求出bn的表达式，再由
?0，a17?0
所以a1?a2???a16?0?a17?a18??而b15?a15?a16?a17?0，b16?a16?a17?a18?0所以S14?S13???S1，S14?S15，S15?S1669又a15??d?0，a18?d?0，55且a15?a18所以b15?b16，即b15?b16?0，?S16?S14故Sn中S16最大。
总结提高
1．在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公 式，如在等差数列中，am?bn?是等差数列列出关于c的方程，解出c
错误！未找到引用源。可利用函数思想，求出
?an?(m?n)d
f(n)的最大值。
数学门诊 若数列
２．在五个量a1，d，n，an，Sn中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的。
33．已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，
目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了
?an?是等差数列，数列?bn?满足
，?bn?的前n项和为bn?an?an?1?an?2（n?N?）
Sn，已知3a5?8a12?0，试问n为何值时，Sn取
得最大值？并证明你的结论。 错解：因为3a5a，a?d，a?2d外，还可设a?d，a，a?d；四个数成等差数列时，可设为a?3m，a?m，a＋m，a?3m
设
?8a12?0，
4．在求解数列问题时，要注意函数思想，方程思想，消元及整体消元的方法的应用。
课堂演练 1．设
Sn是等差数列?an?的前n项和，若
17
S3S?1，则S6?（ A ） 63S12A．
310 Ｂ．13 Ｃ．18 Ｄ．19
解：S33a1?3d1S?6a?
61?15d3?a1?2d且d?0
?S6S?6a1?15d?27dd?310 1212a1?66d90２．在等差数列
?an?中a1?2，a2?a3?13，
则
a4?a5?a6等于（ B ）
A．40 Ｂ．42 Ｃ．43 Ｄ．45 解：a2?a3?2a1?3d?4?3d?13
?d?3，a5?2?4?3?14a
4?a5?a6?3a5?423．等差数列
?an?中，a1?0，S9?S12，则前
10或11项的和最大。 解：?S9?S12，S12?S9?0
?a10?a11?a12?0，?3a11?0，?a
11?0，又a1?0∴
?an?为递减等差数列∴S10?S11为最大。
4．已知等差数列
?an?的前10项和为100，前100项和
为10，则前110项和为－110 解：∵
S10，S20?S10，S30?S20，?，S110?S100，?
成等差数列，公差为D其首项为
S10?100，前10项的和为S100?10
?100?10?10?92?D?10，?D??22又S110?S100?S10?10D ?S110?100?10?10（??22）??110５．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕
捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元，问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
解：设捕捞n年后的总盈利为万元，则
y?50n?98???n(n?1)??12n?2?4?? ??2n2?40n?98
??2(n?10)2?102所以当n?10时，ymax?102答：捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元。 ６．设等差数列
?an?的前n项和为Sn，已知
a3?12，S12?0，S13?0
错误！未找到引用源。求出公差d的范围， 错误！未找到引用源。指出S1，S2，?，S12中哪一个值最大，并说明理由。
dan?f(n)nanSn?an?\n?2\
解：错误！未找到引用源。
S12?6(a1?a12)?6(a3?a10)
?6(2a3?7d)?0?24?7d?0?d??247又S13?13(a1?a13)2?132(a3?a11)?13 2(2a3?8d)?0?24?8d?0?d??3从而?247?d??3错误！未找到引用源。
18
?S12?6(a6?a7)?0
S13?13a7?0
?a7?0，a6?0?S6最大。课外练习 一、 选择题 1． 已知
?an?数列是等差数列，a10?10，其前
10
项的和S10?70，则其公差d等于( D )
A．?23B．?13C．13D．2 32． 已知等差数列
?an?的前n项和为Sn，等差数列
的前n项和为Tn，且
Sn3n?39T?N?)，则使
annn?5(n?b为整数的所n有n的值的个数有（ C ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：
anb= n2an2b?a1?a2n?1?S2n?1nb1?b2n?1T2n?1 ?3(2n?1)?392n?1?5?6n?362n?4
?3?12n?2要使
anb为整数只需12能被n+2整除， n故n=1，2，4，10，选C 3． 设等差数列
?an?的前n项和为Sn，若
S3?9，S6?36，则a7?a8?a9等于( B )
A．63 B．45 C．36 D．27 解：S3，S6?S3，S9?S6成等差数列
?2(S6?S3)?S3?S9?S6S3?9S6?S3?27?S9?S6?2(S6?S3)?S3?54?9
?45选B4． 已
知
等
差
数
列
?an?中，
a7?a9??16，a4?1，则a12等于（ A ）
A．15 B．30 C．31 D．64
解：?a7?a9?a4?a12?a
12?15二、填空题 5． 设
Sn为等差数列?an?的前n项和，
S4?14，S10?S7?30，则S9=54
6． 已知等差数列
?an?的前n项和为Sn，若
S12?21，则a2?a5?a8?a11?
． 设F是椭圆x2y277?6?1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同点
Pi(i?1,2,?)使P1F，P2F，P3F,?
组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为
??1??10，0???????0，1?10?? 解：椭圆的焦点F到椭圆上的点最大、最小距离分别为(7?1)和（7?1），由题意得： 7?1）?（n?1)d?7?1?d?2n?1?n?1?20?d?110，又d?0 ??110?d?0或0?d?110三、解答题
19
（8． 等差数列
?an?的前n项和记为Sn，已知
a10?30，a20?50
错误！未找到引用源。求通项an；错误！未找到引用源。若Sn=242，求n 解：an?a1?(n?1)d
a10?30，a20?50解方程组??a1?9d?30?ad?50 1?19???a1?12?d?2?an?2n?10由Sn(n?1)dn?na1?2，Sn=242 ?12n?n(n?1)2?2?242 解得n?11或n??22(舍去）9． 甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运
动，甲第一分钟走2m，以后每分钟比前一分钟多走1m，乙每分钟走5m，错误！未找到引用源。甲、乙开始运动后几分钟相遇？错误！未找到引用源。如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？
解：错误！未找到引用源。设n分钟后第一次相遇，依题意有：
2n?n(n?1)2?5n?70 解得n?7，n??20(舍去）故第一次相遇是在开始运动后7分钟。
错误！未找到引用源。设n分钟后第二次相遇，则：2n?n(n?1)2?5n?3?70 解得n?15，n??28(舍去）故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列
?an?中，
a1?3，前n和
S1n?2(n?1)(an?1)?1 错误！未找到引用源。求证：数列?an?是等差数列
错误！未找到引用源。求数列
?an?的通项公式
错误！未找到引用源。设数列??1??a?的前n项
nan?1?和为Tn，是否存在实数M，使得Tn?M对一切正
整数n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由。
解：错误！未找到引用源。∵
S1n?2(n?1)(an?1)?1 ?S1n?1?2(n?2)(an?1?1)?1?an?1?Sn?1?Sn?12?(n?2)(an?1?1)?(n?1)(an?1)?
整理得，nan?1?(n?1)an?1?(n?1)an?2?(n?2)an?1?1?(n?1)an?2?nan?1?(n?2)an?1?(n?1)an?2(n?1)an?1?(n?1)(an?2?an)?2a
n?1?an?2?an∴数列
?an?为等差数列。
错误！未找到引用源。a1?3，nan?1?(n?1)an?1
?a2?2a1?1?5?a2?a1?2即等差数列?an?的公差为2
?an?a1?(n?1)d?3?(n?1)?2?2n?1错误！未找到引用源。
?1a?1(2n?1)(2n?3)
nan?120