点拨：本题关键依据几何性质及题设获取题目信息，找出数列的递推关系式或变化规律，转化为比较直接的数列问题来解。
数学门诊
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少
15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会
比上一年增加14。
错误！未找到引用源。设第n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn，写出an、bn的表达式。
错误！未找到引用源。至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
错解：错误！未找到引用源。第一年投入a1=800
第二年投入a12?800(1?5)，第n年投入a1n?800(1?)n?15第一年收入b1?400万元 第二年收入b12?400（1?4）第n年收入b1n?400(1?)n?14错误！未找到引用源。因为bn?an， 所以800（?4）n?1?400?(54)n?15所以2?(54)2n?2?2n?2?lg2lg54
2n?2?lg21?3lg2所以n?1?lg22(1?3lg2)?2.58所以 n≥3
正解: 错误！未找到引用源。第一年投入800万
元，
第二年投入800（1?15）万元第n年投入800（1?1n?15）,
所以总投入：a4n?800?800?5???800?(45)n?1?4000??1?(4)n??5??同理，第一年收入400万元，
第二年收400(1?14)，第n年收400（1?1n?14）总收入： b400?55n?400?4???400?(4)n?1?1600??5?(4)n?1???错误！未找到引用源。因为bn?an，所以 1600（??5n??5n??4）?1???4000??1?(4)???0化简得：5?(45)n?2?(54)n?7?0 所以(45)n?25，所以，n?4.113即：n?5故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入。 总结提高
1. 数列模型应用问题的求解策略
错误！未找到引用源。认真审题，准确理解题意； 错误！未找到引用源。依据问题情境，构造等差、
等比数列，然后应用通项公式，前n项和公式以及性质求解，或通过探索、归纳构造递推数列求解。
错误！未找到引用源。验证、反思结果与实际是否相符。
2. 数列综合问题的求解策略
错误！未找到引用源。数列与函数综合问题或应
用数学思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列的知识求解；
错误！未找到引用源。数列的几何型综合问题，
探究几何性质和规律特征建立数列的递推关系
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式，然后求解问题。 课堂演练
１． 一张报纸，其厚度为a，面积为b，现将
纸对折7次，这时报纸的厚度和面积分别为（ C ）
a7?a1q6?1?1.256?18 4错误！未找到引用源。记
Sn?a1?a2?a3???an，
Sn1依题意得?10000?Sn3
1A．8a，b81C．128a，b1281B．64a，b64 1D．256a，b256２． 东北农场年初有森林木材存量Sm3，木材
128(1?1.5n)
于是Sn??5000，1?1.5657即1.5n?，则有n?7.532因此n≥8，所以到2011年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的６． 已知数列
以每 年25%的增长率增长，而每年末要砍伐固定的木材量xm3，为实现经过2次
1。 3砍伐后木材的存量增加50%，则（ C ）
x的值是
?an?的等差数列，且
S A．32SB．34SC．36SD． 38a1??1，S12?186
错误！未找到引用源。求数列的通项公式； 错误！未找到引用源。若数列
4x３． 设f(x)?x，则
4?21220072007f()?f()???f()?2008200820082
４． 光线通过一块玻璃板，其强度要失掉10%，
?bn?满足bn1?()an，27记数列
?bn?的前n项和为Tn，试证明：Tn?16对
n?N?恒成立。
1若使光强度减弱为原来的，则重叠以上相
3同的玻璃板的块数是 11 。
解：错误！未找到引用源。设等差数列
?an?的公差为
d，
则Sn?12a1?12?11d，2又a1??1，S12?186所以186??12?66d，所以d?3
５． 某市2003年共有1万辆燃油型公交车，有
关部门计划于2004年投入128辆电力型辆公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：错误！未找到引用源。该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？错误！未找到引用源。到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车的总量
?an?的通项公式：所以数列an??1?(n?1)?3?3n?4错误！未找到引用源。bn1？ 3解：错误！未找到引用源。该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列
11?()an?()3n?4 22?an?，其中
a1=128，q=1.5，则在2010年应该投入的电
力
型
公
交
车
为
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所以bn?11b?()3?1n28所以?b1对
n?是等比数列，首项b1?2，公比q?82??1?(1)n?所以T8??16?1?16n???1?7??1?(8)n1???78n?N?恒成立。
课外练习
１． 等差数列共有2n+1项，所有奇数项之和为132，
所有偶数项之和为120，则n等于（ B ） A．9 B．10 C．11 D．12 ２． 设
Sn是等差数列?an?的前n项和，若
a5a?59，则S9S?(A)
35A．1 B．－1 C．2 D．12 ３． 在等比数列
?an?中，Sn是前n项和，若
a3?2S2?1，a4?2S3?1，则公比q等
于（ C ）
A．1 B．－1 C．3 D．－3 ４． 一正项等比数列前11项的几何平均值为
32，从这11项中抽出一项后余下的10项的几何平均值为32，那么，抽出的这一项是（ A ）
A．第6项 B．第7项 C．第9项 D．第11项
５． 已知整数对的数列如下：（1，1）（1，2）
（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）
（3，2）（4，1）（1，5）（2，4）?，则第60个
数对是（5，7） ６． 已知数列
?an?是等比数列，且 Sm?10，S2m?30，则S3m?70
７． △ABC内有任意不公线的2010个点，加上
A.B.C三个点,共2013个点,把这2013个点连线形成互不重叠的小三角形,则一共可形成小
三角形的个数为 4021 ８． 已知正项数列
?an?的前n项和为Sn，
S1n是4与(an?1)2的等比中项，
错误！未找到引用源。求证：数列?an?是
等差数列；
错误！未找到引用源。若bann?2n，数列?bn?的前n项和为Tn，求Tn
错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。的条件下，是否存在常数?，使得数列??Tn????a?为等比数列？若存在，试求出
n?2??；若不存在，说明理由。
解：错误！未找到引用源。
S1n是4与(an?1)2的等比中项，
所以S1n?(an?1)24当n?1时，a11?4(a1?1)2，?a1?1当n?2时，S1n?1?4(an?1?1)2
所以an?Sn?Sn?1?14(a2?a2nn?1?2an?2an?1)即(an?an?1)(an?an?1?2)?0因为an?0，所以an?an?1?2?0即：a
n?an?1?2所以数列
?an?是等差数列。
错误！未找到引用源。T2n?3n?3?2n Tn??a?(3?2n?312n??)??3 n?22n ?3??2n?3?12n
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所以当且仅当3+?=0，即?=－3时，数列
?Tn?????为等比数列。 a?n?2?９． 已知在正项数列
?an?中，a1=2，且
22在双曲线y?x?1上， An(an，an?1）数列
?bn?中，
点（bn，Tn）在直线y??数列列
1所以bn?bn?1，312令n?1得b1??b1?1，所以b1?232 所以?bn?是一个以为首项，31以为公比的等比数列。3212所以bn??()n?1?n333 错误！未找到引用源。
1x?1上，其中Tn是2Cn?an?bn?(n?1)?
2 n3?bn?的前n项和，错误！未找到引用源。求数
?an?的通项公式；错误！未找到引用源。求证：?bn?是等比数列。错误！未找到引用源。若
所以Cn?1?Cn?(n?2)??23n?123n?1?(n?1)23n数列
?(?2n?1)?0Cn?an?bn，求证：Cn?1?Cn。
解：错误！未找到引用源。由已知带点
22在y?x?1上知， An(an，an?1）所以Cn?1?Cn 10．在数列
?an?中
an?1－an＝１，所以数列?an?是以2为首
a1?2，an?1?4an?3n?1， n?N?
项，以1为公差的等差数列。 所以an 错误！未找到引用源。证明数列等比数列。
错误！未找到引用源。求数列
?an?n?是
?a1?(n?1)d?n?1
?an?的前n错误！未找到引用源。因为点（bn,Tn）在直线y??1x?1上， 2项和Sn
错误！未找到引用源。证明不等式Sn?1≤4Sn对任意n?N都成立。 解：错误！未找到引用源。由an?1 有an?1?1所以Tn??bn?121所以Tn?1??bn?1?1 2两式相减得：11bn?Tn?Tn?1??bn?bn?122?4an?3n?1
?(n?1)?4(an?n)又a1?1?1
所以数列比数列。
?an?n?是首项为1，且公比为4的等
错误！未找到引用源。由错误！未找到引用源。知
an?n?4n?1,
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所以an?4n?1?n，所以：Sn?(1?4???4n?1)?(1?2???n)
?4n?13?n(n?1)2 错误！未找到引用源。对任意的n?N?，
S?4S4n?1?1(n?1)(n?2)n?1n?3?2 ?4??4n?1n(n?1)? ?3?2????12(3n2?n?4)?0 所以不等式Sn?1≤4Sn对任意n?N?都成立。
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