an?2?an?1?2(an?1?an)a2?a1?1?a3?a2?2(a2?a1)?2a4?a3?2(a3?a2)?4a5?a4?2(a4?a3)?8a6?a5?2(a5?a4)?16a7?a6?2(a6?a5)?32?a7?a1?1?2?4?8?16?32?a7?657．已知数列
?an?的通项n?y?x?98x?9998n?99?1?（n?N），则数列
??an?的前30项中最大项和最小项分别是a10，a9
解：构造函数
99?98x?99
由函数性质可知，函数在(??，99)上递减，且y?1 函数在(上递增且y?1 99，＋?）又99?(9，10）?a10?a11?a12???a30?1?a1?a2???a9?a10最大，a9最小8．已知
三、解答题
?an?中，a1?1，前n项和Sn与an的关系是Sn?n(2n?1)an，求an
3解：由Sn?n(2n?1)an得
Sn?1?(n?1)(2n?1)an?1?an?1?Sn?1?Sn?an?1?(n?1)(2n?1)an?1?n(2n?1)an?(2n2?3n)an?1?n(2n?1)an?an?12n?1?an2n?3anan?1an?2a?????2a1an?1an?2an?3a1?an??2n?32n?52n?75311????????2n?12n?12n?397531?(2n?1)(2n?1) 1?24n?1
11
9．在数列
?an?中，an?1，an?1?21?（n?N ）Sn为前n项和.错误！未找到引用源。求证：an?1?an?是以3为周期的周期函数
错误！未找到引用源。求S2010
an?3?1??1?1?11an?21?1?1?111?1an
an?1?1?an?11?1?a(an?1)?an1?nan?1?1?an?1?an1a1?，a2??1，a3?2
2S2010?（a1?a2?a3）?（a4?a5?a6）???（a2005?a2006?a2007）?（a2008?a2009?a2010）?670（a1?a2?a3）?1005
10．设数列?an?的前n项和为Sn，点(n，n)，
（n?N）均在函数y?3x?2的图像上，错误！未找到引用源。求数列错误！未找到引用源。设bn立的最小正整数m。
解：错误！未找到引用源。依题意得：
?Sn?an?的通项公式
?m3? 对所有n?N都成,Tn是数列?bn?的前前n项和，求使得Tn?20anan?1Sn?3n?2，即Sn?3n2?2n n当n?2时，an?Sn?Sn?12?（3n2?2n）?[（3n?1）?（2n?1）]?6n?5当n?1时，a1?S1?1?6?1?5故an?6n?5，（n?N?）
错误！未找到引用源。由错误！未找到引用源。得：
12
3bn?（6n?5）（6n?1）
111?（?）26n?56n?1Tn??bii?1n11m?（1?）〈成立，
6n?1201?111?2?（1?）???（?）2?76n?56n?1???1m?，?m?10 220当且仅当
故满足要求的
6.2等差数列
知识要点
1． 等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差，用d表示。 2．递推关系与通项公式
等差数列的充要条件。 ３．等差中项：
若a,b,c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b?a?c；a,b,c成等差数列是2b?a?c的充2递推关系：an?1?an?d通项公式：an?a1?(n?1)d推广：an?am?(n?m)d变式：a1?an?(n?1)d;an?a1n?1a?amd?nn?md?要条件。 ４．前n项和公式
Sn?(a1?an)nn(n?1)d ； Sn?na1?
22变式：
由此联想到点(n,an)所在直线的斜率。
特征：an?dn?(a1?d),即：an?f(n)?kn?m,(k,m为常数）an?kn?m，（k,m为常数)是数列?an?成
a1?anSna1?a2???an??2nndd?a1?(n?1)?an?(n?1)?(?);
22San?2n?12n?113
特征：Sn?d2n2?(ad1?2)n,即Sn?f(n)?An2?Bn
S2n?An?Bn(A,B为常数)是数列
?an?成等差数列的充要条件。
5．等差数列
?an?的基本性质(其中m,n,p,q?N?)
错误！未找到引用源。
若m?n?p?q，则am?an?ap?aq反之，
不成立。
错误！未找到引用源。an?am?(n?m)d 错误！未找到引用源。2an?an?m?an?m 错误！未找到引用源。Sn,S2n?Sn,S3n?S2n仍
成等差数列。
６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
错误！未找到引用源。定义法：
a?n?1?an?d(常数）（n?N）??an?是等
差数列
错误！未找到引用源。中项法：
2an?1?an?an?2（n?N?)??an?是等差数
列
错误！未找到引用源。通项公式法：
an?kn?b(k,b为常数)??an?是等差数
列
错误！未找到引用源。前n项和公式法：
Sn?An2?Bn(A,B为常数)??an?是等
差数列 课前热身： 1．等差数列
?an?中，a1?a4?a7?39,
a2?a5?a8?33,则a3?a6?a9?（ B ）
A．30 B．27 C．24 D．21 2．等差数列
?an?中，
a4?a6?a8?a10?a12?120,则a1
9?3a11的值为(C)A．14 B．15 C．16 D．17
解 a119?3a11?a9?3(a9?2d)
?2221203(a9?d)?3a8?3?5?163．等差数列?an?的前n项和为Sn，
当a1，d变化时，若
a2?a8?a11是一个定值，那么下列各数中也
是定值的是（ A ）
A．S13B．S15B．S20C．S
8解：
a2?a8?a11?3(a1?6d)?3?2a3
27?2(a1?a13)为定值，∴a1?a13为定值，
?S(a1?a13)?1313?2，选A
4．计算机执行以下程序：
错误！未找到引用源。初始值x?3，S?0 错误！未找到引用源。x?x?2 错误！未找到引用源。S?S?x
错误！未找到引用源。S?2010，则进行错误！
未找到引用源。，否则从错误！未找到引用源。继续进行
错误！未找到引用源。打印x 错误！未找到引用源。停止
那么，语句错误！未找到引用源。打印出的数值
为89
解：由题意知，程序每执行一次所得x的值形成一个数列
?xn?是等差数列，且首项为5，公差为2，相
应S的值Sn恰为该数列的前n项和，根据题意得：S?5n?n(n?1)?22?2010解得 n?43
14
所以x43?5?(43?1)?2?89
5．设Sn，Tn分别为等差数列
?an?与?bn?的前n 项
和an4n?2S14b?n?5，则19T?n2195
解：
(a1?a19)?19S19a?T?2a1919(b?b?1119)?19b1?b192
?2a102b?a10?4?10?2?1410b102?10?55典例精析
一、等差数列的判定与基本运算 例1：错误！未找到引用源。已知数列
?an?前n项和
Sn?n2?9n
错误！未找到引用源。求证：?an?为等差数列；错误！
未找到引用源。记数列?an? 的前n项和为Tn，
求 Tn的表达式。
错误！未找到引用源。数列
?an?中，Sn是前n项
和，当n?2时，S21n?an(Sn?2)错误！未找到引用源。求证：??1??是等差数列，
?Sn?错误！未找到引用源。设bSnn?2n?1，求?bn?的前n项和Tn
解：错误！未找到引用源。：错误！未找到引用源。证明：n=1时，a1?S1??8，
当n?2时，
an?Sn?Sn??1?n2?9n?(n?1)2?9(n?1)? ?2n?10
也适合该式，∴an?2n?10 （n?N?）
错误！未找到引用源。Tn的表达式为：
n?5时，an?0,n?6时，an?0?当n?5时，Tn??Sn?9n?n2当n?6时，Tn?a1?a2???a5?a6???an??a1?a2???a5?a6?a7???an?Sn?2S5?n2?9n?2?(?20)?n2?9n?40T?9n?n2?(n?5)n???n2?9n?40(n?6)
错误！未找到引用源。： 错误！未找到引用源。证明：
当n?2时，
S211n?an(Sn?2)?(Sn?Sn?1)(Sn?2)
所以Sn?Sn?1?12(Sn?1?Sn)
即1S?1S?2nn?1所以??1??S?是以12n?S?1为首项，
为公差的等差数列。1错误！未找到引用源。：由错误！未找到引用源。得
1S?1?(n?1)?d?1?(n?1)?2nS1 ?2n?1所以S1n?2n?1
所以
bnn?S2n?1?1(2n?1)(2n?1)
?12(12n?1?12n?1)15