又数列
?an?是首项为a，公差为1的等差数列
所以an?a?n?1，又a?N?f(a?f(a)（n为奇数）n)???f(a?1)（n为偶数）所以f(a1)?f(a2)???f(a10)?5f(a)?5f(a?1)
?5?f(0)?f(1)??5f(1)又f(?1)f(?1?2)?f(1)所以?f(1)?f(1)即f(1)?0故原式=0，选C。 二、填空题 ５．设等比数列
?an?的公比与前n项和分别为q和
SS20n，且q≠1，S10?8，则1?q10?8
10方法一、a1(1?q)1?2?8?S201?q10?a1(1?q20)(1?q10）(1?q)?8方法二、S20?S10?a11?a12???a20
?S1010?qS10?S10(1?q10)所以S201?q10?S10?86．数列
?an?满足an?1n?1?2n?2???nn?1， 又b2n?，则数列?abn?的前n项和为8n nan?1n?1解：a1nn?n?1(1?2???n)?2
b28n?aa?n(n?1)= 8(1n?1n?1） nn?1所以b1?b2???b?8?111n111??(1?2)?(2??3)???(n?n?1)??8?1??1??n?1???8n?n?1７．数列1，1，1，1，1，1，1，1，1，1223334444，?的前100项 的和为13914。 解:∵1?2?3???13?13?142?91 ∴1?（111112?2）?（3?3?3）??
?（113???113）?（1???1）?139??14????14?14 9个114的和三、解答题 8．设数列
?an?满足
aa2n1?32?3a3???3n?1an?3（n?N?） 错误！未找到引用源。求数列
?an?的通项公式an；
错误！未找到引用源。设bn?na，求数列?bn?的n前n项和Sn
解：错误！未找到引用源。因为
a1?3a2?32a3???3n?1ann?3 错误！未找到引用源。 当n≥2时，
an?11?3a2?32a3???3n?2an?1?3 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。－错误！未找到引用源。得：3n?1an?13?a1n?3n(?2)而n?1时a11?3也适合上式， 故a?1n3n错误！未找到引用源。因为bn?nna?n?3
n36
所以S3n?3?2?32?3?3???(n?1)?3n?1?n?3n3S2n?3?2?33???(n?1)?3n?n?3n?1两式相减：?2S2n?3?3???3n?n?3n?13(1?3n?）?3?n?3n?11S(2n?1）?3n?1所以：3n?4?49．已知数列
?an?满足a1?a2???an?n3
错误！未找到引用源。求数列?an?的通项公式an；
错
误
！
未
找
到
引
用
源
。
求
1a?1?1a?1???1的值。 23a100?1 解：错误！未找到引用源。因为
a1?a2???an?n3
n?2时，a1?a2???an?1?(n?1)3两式相减得：a2n?3n?3n?1(n?2)得n?1时，a
1?1也适合上式，故an?3n2?3n?1(n?N?) 错误！未找到引用源。因为
1a1?13n(n?1)?13(1n?1?1n) （n≥2）
n?所以1a?1???12?1a3?1a100?1?1?1111113??(1?2)?(2??? 3)???(99?100)??13(1?133100)?10010.已知函数f(x)?12?4x，点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是函数f(x)图像上的两点，且线段
P11P2的中点P的横坐标为。
2错误！未找到引用源。求证：点P的纵坐标是定值；错误！未找到引用源。若数列
?an?的通项公式为
a?f(nnk)(n?N?),n?1,2,?k，求数列?an?前
k项和Sk；
错误！未找到引用源。若
?akak?1k?N时，不等式S?S （a>0）恒成立，kk?1求实数a的取值范围。
解：错误！未找到引用源。因为
f(x111)?f(x2)?4x1?2?4x2?24x1?4x2?44x1?4x?2?4(4x1?2)(4x2?2)?4x1?x2?2(4x1?4x2)?4又x1?x2?2xp?1，所以4x1?x2?4所以f(x4x1?4x2?411)?f(x2)?2(4x1?4x2?4)?2所以yf(x1)?f(x2)1p?2?4(定值）错
误
！
未
找到引用源。因为
a?f(nn)?1kn,(n?1,2,?k)
4k?2a1k?f(1)?6所以Sk?a1?a2???ak?11?12??
4k?24k?2?1k?1?1k4k?24k?2由错误！未找到引用源。知，当
x11?x2?1时，f(x1)?f(x2)?2 所以ank?n1n?ak?n?f(k)?f(k)?2所以2SK?(a1?ak?1)?(a2?ak?2)???(ak?1?a1)?2ak
?12(k?1)?2?16所以Sk1k?4?1237
错
?误！未找到引用源。由
akak?1 k?N时，不等式?SkSk?1?11k?12(k?1)?12443k?23即a??1?3k?13k?13k?25当k?1时，取最大值，3k?125故a?2得akak?16．5数列的综合应用
知识要点
一、数列综合问题中应用的数学思想
1．用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式
和求和公式视为定义在自然数集上的函数； 2．用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程；
3．用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列的研究；
4．数列综合问题常常应用分类讨论思想，特殊与一般思想，类比联想思想，归纳猜想思想等。 二、解决问题的主要思路有
1．把综合问题分解成几个简单的问题 2．把综合问题转化为熟悉的数学问题 3．通过观察，探索问题的一般规律性 4．建立数列模型，使用模型解决问题 三、实际问题的数列模型
依据实际问题的递推、等差、等比情境，将问题转换为递推数列、等差数列和等比数列，建立数列模型探究和解决实际应用问题。 课前热身
１． 某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死
去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，?，按此规律，6小时后细胞成活的个数是（ B ） A．63 B．65 C．67 D．71
解：a1Sn?n(21n?n2?5)，(n?1，2，?，12）按此预90测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ C ）
A．5月，6月 B．6月，7月 C．7月，8月 D．8月，9月
?S1?1， 6n?2时，an?Sn?Sn?1?由1(?n2?15n?9)30
13(?n2?15n?9)?，302所以，n2?15n?54?0所以，6?n?9n?N?，所以n=7或8，选C
３． 过圆x2?y2?10x内一点(5，3)有k条弦,其长
度组成等差数列,且最小弦长为数列
?an?的首项
12a1，最大弦长为m末项ak，若公差d?(,)，
33则k最大值为（ B ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解：因为圆内过点（5，3）的最小的弦长为以（5，
3）为中点的弦长为8，即a1=8，又最大的弦为直径，所以ak=10
解：a1?3，a2?5，an?1?2an?1?an?1?(a1?1)?2n?1?an?2n?1，n?6时a6?65２． 根据市场调查结果、预测某种家用商品从年初开
始的几个月内积累的需求量Sn（万件）近似的满足：
38
所以d?ak?a12k?1?k?1 又d?(12123，3)?3?k?1?23 所以6?k?1?2即3?k?7故kmax?6，选B４． 已知一个运算程序如下：
1?1?2，m?n?k，m?(n?1)?k?3(m，n，k?N?)，则1?2009的运算结果是6026解：令m?1，由已知1?n?k，1?(n?1)?k?3可知数列?1?n?为首项是2，公差是3的 等差数列，则1?2009?2?（2009?1）?3?6026５． 某工厂2003年至2006年的产量和为100吨，2005
年至2008年的产量和为121吨，则该工厂从2003年到2008年平均增长率为10﹪
解：设年平均增长率为p，则各年的年产量依次成等比数列，公比为1+
p，
??a1?1?(1?p)4??100则??1?(1??p)?a1(1?p)21?(1?p)4???1?(1?p)?121 所以（1?P)2?1.21?p?0.1?10%典例精析
一、 函数与数列的综合问题
例1：已知f(x)?logax(a?0且a?1)，设f(a1)，f(a2)，?，f(an)(n?N?) 是首项为4，公差为2的等差数列。错误！未找到引用源。设a是常数，求证：?an?成
等差数列；
错误！未找到引用源。若bn?anf(an)，?bn?的
前n项和是Sn，当a?2时，求Sn
解
：
错
误
！
未
找
到
引
用
源
。
f(an)?4?(n?1)?2?2n?2，
即log2n?2aan?2n?2，所以an?aa?2 所以na2na?2n?a2(n?2)为定值
n?1a所以?an?为等比数列。 错误！未找到引用源。bn?anf(an)
?a2n?2log?2?2aa2n?(2n?2)a2n当a?2时，bn?(2n?2)?(2)2n?2?(n?1)?2n?2Sn?2?23?3?24?4?25???(n?1)?2n?22S4?3n?2?2?3?25???n?2n?2?(n?1)?2n两式相减得?Sn?2?23?24?25???2n?2?(n?1)?2n?324(1?2n?1?16?)?2?(n?1)?2n?31所以Sn?n?2n?3点拨：本例是数列与函数综合的基本题型之一，特 征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解。 二、数列模型实际应用问题
例2：某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2007年底全县的绿化率已达30﹪，从2008年开始，每年将出现这样的局面：即原有沙漠面积的16﹪将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4﹪又被沙化。 错误！未找到引用源。设全县面积为1，2007年底绿化面积为a1?310，经过n年绿化面积为an?1，求证：
an?1?45a?4n25 错误！未找到引用源。至少需要多少年（取整数）的努力，才能使全县的绿化率达到60﹪？
解：错误！未找到引用源。证明：由已知可得an确定后，an?1表示如下：
an?1=an(1－4﹪)＋(1－an)16﹪
39
即a4n?1?80%an?16%?5a4n?25 错误！未找到引用源。由a44n?1?5an?25
有a444n?1?5?5(an?5)又a411?5??2?0所以a414n?1???2?(5)n5即：a414nn?1?5?2?(5)若a3414n3n?1?5，则有5?2（?5）?5即（45）n?1?142，(n?1)lg5??lg2，(n?1)(2lg2?lg5)??lg2(n?1)(3lg2?1)?lg2所以n?1?lg2?3lg2?4n?N?1
∴n最小整数为5，故至少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60﹪.
点拨：解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题。
三、数列中的探索性问题
例3：已知点B1(1,y1),B2(2,y2),?,Bn(n,yn),?（n?N?）顺次为直线上的点，点
A1(x1,0),A2(x2,0),?,An(xn,0)顺次在x轴上的
点，其中x1?a,(0?a?1)，对于任意正整数n，点An,Bn,An?1构成以Bn为顶点的等腰三角形，
错误！未找到引用源。求数列?yn?的通项公式，并证明它为等差数列；
错误！未找到引用源。求证：xn?2?xn是常数，并?求xn?数的通列项公式；
错误！未找到引用源。上述等腰三角形AnBnAn?1
中是否可能存在直角三角形，若可能求此时a的
值，若不可能，请说明理由。
解：错误！未找到引用源。
yn?n114?12,yn?1?yn?4为定值，
所以?yn?为等差数列。
错误！未找到引用源。由题意得：
xn?xn?1?2n，xn?1?xn?2?2(n?1)xn?2?xn?（常数）2?x1,x3,?,x2n?1?成等差数列，x2,x4,?,x2n?成等差数列。?x2n?1?x1?2(n?1)?(2n?1)?a?1 x2n?x2?2(n?1)?2?a?2(n?1)?2n?a所以：x???n?a?1(n为奇数）n?n?a(n为偶数）错误！未找到引用源。当n为奇数时，
An(n?a?1,0)，An?1(n?1?a,0)AnAn?1?2(1?a)
当n为偶数时
An(n?a,0)，An?（1n?a,0)AnAn?1?2a作BnCn?x轴于Cn,?BnCn?n4?112?要使等腰三角形为直角三角形，则AnAn?1?2BnCn当n为奇数时，2(1?a)?2(n14?12)所以：a?112(11?3n)当n?1时,a?213，当n?3时,a?6，当n?5时无解；当n为偶数时，2a?2(n14?12)所以：a?n14?12当n?2时，a?712，当n?4时无解。综上：a?2173或a?6或a?12时，存在直角三角形。40