1?11????2?2n?12n?3?1111111?Tn?(???????)235572n?12n?3 111?(?)232n?31又当n?N?时，Tn?6?
要使得Tn?M对一切正整数n恒成立，只要M≥
1，所以存在实数M使得Tn?M对一切正整数n 6都成立，M的最小值为
1。 66.3等比数列
知识要点
1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为
错误！未找到引用源。
?an?为等比数列，则下标
到
引
用
源
。
成等差数列的对应项成等比数列。 错
误
！
未
找
q，（q?0)。
2． 递推关系与通项公式
q??1时，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n，?仍成等比
数列。
6． 等比数列与等比数列的转化 错误！未找到引用源。
递推关系：an?1?qan通项公式：an?a1?qn?1 推广：an?am?qn?m3． 等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为
?an?是等差数列
can???(c?0，c?1)是等比数列；
错误！未找到引用源。
?an?是正项等比数列
a与c的等比中项，且为b??ac，注：b2?ac是成等比数列的必要而不充分条件。 4． 前n项和公式
??logcan?(c?0，c?1)是等差数列；
错误！未找到引用源。
?an?既是等差数列又是等
(q?1)?na1?Sn??a1(1?qn)a1?anq??1?q1?q?(q?1) 比数列??an?是各项不为零的常数列。
7． 等比数列的判定法
?5． 等比数列的基本性质，(其中m,n,p,q?N 错
误
！
未
找
到
引
用
源
)
。
错误！未找到引用源。定义法：
若m?n?p?q，则am?an?ap?aq反之不真！
错
误
！
未
找
到
引
用
源
。
an?1?q（常数）??an?为等比数列； an错误！未找到引用源。中项法：
2qn?m?an2，an?an?m?an?m(n?N?) aman?1?an?an?2 (an?0)??an?为等比数列；
错误！未找到引用源。通项公式法：
?an?为等比数列；错an?k?qn(k,q为常数?）21
误！未找到引用源。前
n项和法：
Sqnn?k(1?)（k,q为常数）??an?为等比数
列。 课前热身
1． 如果-1，a,b,c，-9成等比数列，那么（ B ） Ａ．b=3，ac=9 B．b=-3，ac=-9 Ｃ． b=3，
ac=-9 D．b=-3，ac=-9
2． 在等比数列
?an?中，若a4?a7?a5?a6?20，
则此数列的前10项之积等于（ C ）
A．50B．2010C．105D．1010
3． 设f(n)?2?24?27?210???23n?10
(n?N?)，则f(n)等于（D）A．2(8n?1)B．27(8n?17?1)
C．27(8n?3?1)D．27(8n?4?1)4． 已知数列
?an?是等比数列，且
Sm?10，S2m?30，则S3m?70 5． 在
数
列
?an?中
，
若
a1?1，an?1?2an?3(n?1)，则通项
an?1n=2?3
典例精析
一、 等比数列的基本运算与判定
例1：错误！未找到引用源。设首项为
a1?a(a?0)，公比为q的等比数列的前
n项和为80，前2n项的和为6560，求此数列
的首项与公比。
错误！未找到引用源。设数列
?an?的首项
a1?a?14，且
??12an,n为偶数an?1???1?an?4,n为奇数
记b1n?a2n?1?4,n?1,2,3,?错误！未找到引用源。求a2，a3 错误！未找到引用源。判断数列
?bn?是否为等比
数列，并证明你的结论。
解：错误！未找到引用源。∵显然
q≠1∴
a(1?qn)1?q?80 错误！未找到引用源。
a(1?q2n)1?q?6560 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。两式相除，得
1?qn?82，qn?81又an?aqn?1?54
即aqn?54q?81a?54q 错误！未找到引用
源。
将qn?81代入错误！
未找到引用源。得a=q－1 错误！未找到引用源。
由错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。
得a=2，q=3
错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。
a2?a1?14?a?14 a?12a1132?2a?8
错误！未找到引用源。∵
a1134?a3?4?2a?8, a11315?2a4?4a?16，a??b114
1?a1?4?a?4，22
b?12?a3?1(a?1),
424 b1113?a5?4?4(a?4)猜想：
?bn?是等比数列，公比为12。
证明如下：∵b?a111n?12n?1?4?2a2n?4
?1(a112n?1?)? 244
?12(a112n?1?4)?2bn即：bn?1b?1，∴?b1n?是首项为a?n24，公比
为
12的等比数列。 点拨：错误！未找到引用源。运用等比数列的基本公
式，将已知条件转化为关于等比数列的特征量
a1，q的方程是求解等比数列问题的常用方法
之一，同时应注意在使用等比数列前n项和公
式时，应充分讨论公比q是否等于1； 错误！未找到引用源。应用定义判断数列是否是等比数列是最直接，最有依据的方法，也是通法，若判断一个数列是等比数列可用
an?1a?q（常数）恒成立，也可用na2n?1?an?an?2恒成立，
若判定一个数不是等比数列则只需举出反例即可，也可以用反证法。二、性质运用
例2：错误！未找到引用源。在等比数列
?an?中，
a1?a6?33，a3a4?32，an?an?1
错误！未找到引用源。求an， 错
误
！
未
找
到
引
用
源
。
若
Tn?lga1?lga2???lgan,求Tn
错误！未找到引用源。在等比数列
?an?中，若
a15?0，则有等式
a1?a2???an?a1?a2???a29?n(n?29，n?N?)成立，类比上述性质，相应的
在等比数列?bn?中，
若b19?1则有等式 成立。
解：错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。由等比数列的性质可知：
a1?a6?a3?a4?32又a1?a6?33，a1?a6 解得a1?32，a6?1
所以a611a?32，即q5?32，?q?112所以a1n?1n?32?()?26?n2 错误！未找到引用源。由等比数列的性质可知，
?lgan?是等差数列，因为
lgan?lg26?n?(6?n)lg2，lga1?5lg2所以T(lga1?lgan)nn(11?n)
n?2?2lg2错误！未找到引用源。由题设可知，如果am?0在
等
差
数
列
中
有
a1?a2???an?a1?a2???a2m?1?n (n?2m?1，n?N?)成立，我们知道，如果
若m?n?p?q，则am?an?ap?aq，而对于
等
比
数
列
?bn?，则有
若m?n?p?q，则am?an?ap?aq所以可以得
出结论，若
bm?1，则有b1b2?bn?b1b2?b2m?1?n(n?2m?1，n?N?)成立，在本题中
则有b1b2?bn?b1b2?b37?n23
(n?37，n?N?)
点拨：历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握。 三、综合运用 例
3：已知
a1?3，点(an,an?1)在函数
f(x)?x2?2x的图像上，n?N?
错误！未找到引用源。证明数列?lg(1?an)?是
等比数列，
错误！未找到引用源。设
Tn?(1?a1)(1?a2)?(1?an)，求Tn 及数列
?an?的题项公式，
错误！未找到引用源。记bn?1a?1?2，求nan数列
?bn?的前n 项和Sn，并证明：
S2n?3T?1
n?1解：错误！未找到引用源。由已知a?a2n?1n?2an，
所以an?1?1?(an?1)2又a1?2?0，所以an?1?0两边取对数得：
lg(1?an?1)?2lg(1?an),即：lg(1?an?1)lg(1?a?2n)所以，数列
?lg(1?an)?是公比为2的等比数列。
错误！未找到引用源。:由错误！未找到引用源。知
lg(1?an)?2n?1lg(1?a1)?2n?1lg3所以1?a2n?1n?3所以Tn?(1?a1)(1?a2)?(1?an)?320?321?322???32n?1?31?2?22???2n?1?32n?1an?1n?32?1错误！未找到引用源。因为a2n?1?an?2an，
所以a11n?1?an(an?2)?a??2) n?1an(an?1?2?1?1??a? nan?2??b1n?a?1nan?2?112a??nana?2?n?1?1?1??所以Sb?anan?1?n?1?b2?b?2?3???bn?1?a?1?1?1???1?1??1a2a2a3anan?1?2???1?a?1??1a2n?1n?1?因为an?3?1，a1?2ann?1?32?1所以S?11?n?2??2?32n?1???1?132n?1
又Tn?1n?32，所以Sn?1?23T
n?1点拨：本例复习了数列中的有关知识，以函数为起点，
得到数列的递推关系，构造新数列进行解答，求和过程中体现了裂项求和法，这是数列中的经典方法，属于应掌握好的知识。
数学门诊： 已知等差数列
?an?的首项a1=1，公差d>0，且第
2
项，第5项，第14项分别是等比数列?bn?的第2项，
第3项，第4项。
24
错误！未找到引用源。求数列式；
错误！未找到引用源。设数列
?an?与?bn?的通项公
?由cc1c2????n?an?1得b1b2bn?an?对n?N均有
ccc当n?2时，1?2???n?1?anbbbc1b?c2???cn?an?1成立1b2bn 求：c1?c2???c2010解：错误！未找到引用源。由已知有：
a2?1?d，a5?1?4d，a14?1?13d所以(1?4d)2?(1?d)(1?13d)解得：d?2(?d?0)所以an?1?(n?1)?2?2n?1又b2?a2?3，b3?a5?9
所以公比q?b3b?9?323所以bn?1n?b1?q?b2?qn?2?3?3n?2?3n?1错误！未找到引用源。错解：
由c1cb?c2???nb?an?11b2n得c1?c2???cn?1b?an1b2bn?1两式相减得：cnb?an?1?an?2，
n所以cn?2bn?2?3n?1所以c2(1?320101?c2???c2010?)1?3?32010?1错误！未找到引用源。正解：
12n?1两式相减得：n?2时，cnb?an?1?an?2，所以ncn?1n?2bn?2?3(n?2)又n?1时，c1b?a2即c111?3所以c1?3从而c??3(n?1)n??2?3n?1(n?2)所以c1?c2???c2010?3?6(1?32009)
1?3?3?3(32009?1)?32010
点拨：本题易出现求得通项为cn?2?3n?1的错误结论，
也导致求和出现问题，因此条件n≥2千万不能忽视。总结提高：
1. 方程思想，即等比数列
?an?中5个量a1，n，q，an，
Sn，一般可“知三求二”
，通过求和与通项两公式列方程组求解。
2. “错位相减法”求和是解决由等差数列
?an?和等比数
列
?bn?的对应项的积组成的数列?anbn?求和的常用
方法。 3. 对于已知数列
?an?递推公式an与Sn的混合关系式，
利用公式an?Sn?Sn?1(n?2)，
再引入辅助数列，转化为等比数列问题求解。
4. 分类讨论思想：当a1>0，q>1或a1<0，0 等比数列 ?an?为递增数列；当a1>0，0 q>1时，?an?为递减数列；q<0时，?an?为摆动数 25