解：因为a9(9?1）1到a9中共有2?45个数所以，a46?47???55?10(46?55)10?
?5052典例精析
一、 错位相减法求和 例1：求和：Sn?1a?23na2?a3???an 解：错误！未找到引用源。
a?1时，S?n?n(n?1)n?1?2?3?2 错误！未找到引用源。a?1时，因为a?0 S23nn?1a?a2?a3???an 错误！未找到引用源。
1aS12n?1nn?a2?a3???an?an?1 错误！未找到引用源。
由错误！未找到引用源。－错误！未找到引用源。得：
(1?11a)S11nn?a?a2???an?an?11(1?1?aan)1?1?nan?1a所以Sa(an?1)?n(a?1)n?an(a?1)2
综上所述，?n(n?1(a?1)S?)?2n???a(an?1)?n(a?1)??an(a?1)2a?1)点拨：错误！未找到引用源。若数列
?an?是等差数列，
?bn?是等比数列，则求数列?an?bn?的前n项
和时，可采用错位相减法；
错误！未找到引用源。当等比数列公比为字母
时，应对字母是否为1进行讨论；
错误！未找到引用源。当将Sn与qSn相减合
并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。
二、 裂项相消法求和 例
2
：
数
列
?an?满足
a1=8，
a4?2，且an?2?2an?1?an?0 （n?N?）
错误！未找到引用源。求数列
?an?的通项公式；
错
误
！
未
找
到
引
用
源
。
设
b1n?n(14?a(n?N?)
n)Tn?b1?b2???bn（n?N?）若对任意非零
自然数n，Tn?m32恒成立，求最大的整数m的值。 解：错误！未找到引用源。由
an?2?2an?1?an?0知
an?2?an?1?an?1?an，
从而可知数列
?an?为等差数列，
设其公比为d，则d?a4?a14?1??2
所以，an=8＋（n－1）×（－2）＝―10－2n 错
误
！
未
找
到
引
用
源
bn?1n(14?a)?1n2n(n?2)?1114(n?n?2)所以Tn?b1?b2???bn
?1?4??(11?13)?(12?14)???(1n?1n?2)????14(1?12?11n?1?n?2)?38?11m4(n?1)?4(n?2)?32 对一切n?N?恒成立。
31
。
881。当n为偶数时，??m?12??对一切n?N恒成立。n?1n?2Sn?a1?a2?a3?a4???an?1?an88?(12?22)?(32?42)???(n?1)2?n2对n?N?，（12??)min?n?1n?2故???(1?2)?(3?4)???(n?1?n)???12?88161?1?1?2?3所以m?163m的最大整数值为5。
点拨：错误！未找到引用源。若数列
?an?的通项能转
化为f(n?1)?f(n)的形式，常采用裂项相消法求和。
错误！未找到引用源。使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。 三、 奇偶分析法求和 例3：设二次函数
f(x)?x2?x，当x??n，n?1?（n?N?）时，f(x)的函数值的所有整数值的个数记为g(n)。错误！未找到引用源。求g(n)的表达式；错
误
！
未
找到引用源。设
32ann?2n?3g(n)(n?N?)，
Sn?a1?a2?a3?a4???(?1)n?1an,求Sn 解
：
错
误
！
未
找
到
引
用
源
。
f(x)?x2?x，当x??n，n?1?（n?N?）时，
函数
f(x)?x2?x是增函数，则f(x)的值域为
?n2?n，n2?3n?2?（n?N?），所以g(n)?(n2?3n?2)?(n2?n)?1
?2n?3(n?N?) 错
误
！
未
找
到
引
用
源
。
a2n3?3n2n2(2n?3)2n?g(n)?2n?3?n
??n(n?1) 2 2。当n为奇数时，Sn?(a1?a2)?(a3?a4)???(an?2?an?1)?an??(n?1)n2n(n?12?n?)2综上所述：S(?1)n?1n(n?1)n?2点拨：先从偶数入手，求得Sn，而当n为奇数时，则
n－1为偶数，利用Sn?Sn?1?an求解。
数学门诊
已知
Sn为数列?an?的前n项和，且
S2n?2an?n?3n?2，n?N?
错误！未找到引用源。求证：数列?an?2n?为等比
数列；
错误！未找到引用源。设bn?an?cosn?，求数列
?bn?的前n项和Pn。
解：错误！未找到引用源。令n=1，则
32
S1?2a1?1?3?2?a1?a1?4又Sn?2an?n2?3n?2?Sn?1?2an?1?(n?1)2?3(n?1)?2两式相减得：
Sn?1?Sn?2an?1?2an?2n?2
即an?1?2an?1?2an?2n?2所以an?1?2an?2n?2an?1?2(n?1)?2(an?2n)，又a1?2?1?2?0所以an?1?2(n?1)a?2n?2n 所以数列?an?2n?是以2为首项，2为公比的等
比数列。
错误！未找到引用源。错解：由错误！未找到引用源。知，an?2n?2n
所以an?2n?2n，所以bnn?(2?2n)cosn??Pn?b1?b2???bn?(21?2?1）?（22?2?2）???（2n?2n）?（21?22???2n)?2(1?2???n)?2(1?2n)1?2?n(n?1)?2n?1?2?n(n?1)
由于在解题过程中出现cosn??1或cosn???1的情况，导致此种错误原因，是忽略了对n的奇偶情况的讨论。
正解：由错误！未找到引用源。知，an?2n?2n
所以ann?2?2n，所以bn?(2n?2n)cosn?当n为偶数时，Pn?b1?b2???bn??(?21?2?1)?(22??2?2)?(23?2?3)???2n?1?2?(n?1)?(2n?2?n)?(?21?22?23???2n?1?2n)?2??1??2?3????(n?1)?n???21?(?2)n1?2?n
?23(2n?1)?n当n为奇数时，Pn?Pn?1?bn
?23(2n?1?1)?(n?1)?(2n?2n)?13?2n?2?n?1?2n?2n??23 3?2n?2?(n?1)??233(2n?1)?(n?1)综上：?P??2?(2n?1)?n（n为偶数）?3
n????23(2n?1)?(n?1)（n为奇数）总结提高
1．常用基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，
分析数列通项公式的特征联想相应的求和方法既是根本，也是关键。 2． 数列求和实质就是求数列
?Sn?的通项公式，它几
乎含盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练。 课堂演练 1．数列2,212,314,418,?,n?12n?1,?的前n项和为（ ）
33
A．(n?1)n2?2?12nB．n(n?1)2?1?12nC．n2?n?42?12n?1D．n2?n?4122?2n?1．2×3＋3×4＋4×5＋?＋（n＋1）（n＋2）等于
（ C ）
A．n2?6n?1B．n(n2?6n?11) C．n(n2?6n?11)D．n3 33．C012??(2n?1)Cnn?3Cn?5Cn?n＝(n?1)?2n
4． 数列
?an?满足：a1=1，an?2n(n?1)，其前n项和为Sn，则S?2nnn?1 5． 数列
?an?满
足
：
a1=1，
a2?4，an?an??2?2，错误！未找到引用源。
求通项公式
?an?
错误！未找到引用源。求数列
?an?前n项和Sn
解：错误！未找到引用源。因为
an?an??2?2?an?an?2?2
由此可知，?an?的ji奇数项和偶数项分别构成等差数列
若n为偶数，则ann?a2?(2?1)?2?n?2若n为奇数，则an?1n?a1?(?2?1)?2?n
综上，an?n?1?(?1)n? 错误！未找到引用源。当n为偶数时，
Sn?(1?0)?(2?2)?(3?0)?(4?2)???(n?2)
?1?2?3???n?2?n2?n(n?1)n2?32?n?n2当n为奇数时
S?S(n?1)2?3(n?1)nn?1?an?2?n?n2?3n?22?n2?3n(故S??n??2n为偶数) ?n2?3n?2??2(n为奇数)n2?3n??1?(?1)n?1??2?n2?3n?(?1)n?126． 在等差数列
?an?中，a1=1，前n项和Sn满足
S2n4S?n?2，n?1，2，? nn?1 错误！未找到引用源。求数列?an?的通项公式
错误！未找到引用源。记bn?aanpn(p?0)，
求数列
?bn?的前n项和Tn。
解：错误！未找到引用源。设数列
?an?的公差为d，
由
S2n4S?n?2，n?1，2，? nn?134
得a1?a2a?3，所以a2?21即d?a2?a1?1又4n?2S2n?1?nSn(an?nd?a1)2n
?2(an?a1)n2?2(an?n?1)an?1所以an=n
错误！未找到引用源。由bn?anpan(p?0)，有
bnn?np
所以Tn?p?2p2?3p3???npn 错误！未
找到引用源。 当p?1时，Tn(n?1)n?2 当p?1时，pTn?p2?2p3???(n?1)pn?npn?1错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。－错误！未找到引用源。得
(1?p)T2nn?p?p???p?npn?1p(1?pn?)p?npn?11?p(1?pn)npn?1所以Tn?(1?p)2?1?p
?n(n?1)(p?1)即：T??p(1?p2n??n)npn?1???(1?p)2?1?p(p?1)课外练习 １． 数列
?an?的前
n项和为
Sn，若
a1n?n(n?1)，则S5等于（ B ）
A．1B．516C．6D．130解：因为a111n?n(n?1)?n?n?1所以S(1111?2)?(2?13)???(115?5?6)?56２．化简：
Sn?n?(n?1)?2?(n?2)?22???2n?1的结
果是( D )
A．2n?1?n?2B．2n?1?n?2C．2n?n?2D．2n?1?n?2解：令?1时，S
1?1，n?2时，S2?4，?答案D合适。２． 已知等差数列?an?的前n项和是Sn，
已
知
奇
函
数
S5?2，S10?6，则a16?a17?a18?a19?a20?(A)A．8B．12C．16D．24解：因为?an?成等差数S5，S10?S5，S15?S10，S20?S15，?成等S20差?S15是数该列第四项，所a16?a17?a18?a19?a20?S20?S15?S5?3??(S10?S5)?S5??3S10?5S5?18?10?8选A４．f(x)的定义域为R，且f(x)是以2为周期的周期函数，数列
?an?是首项为a(a?N?)，公差为
1的等差数列，那么f(a1)?f(a2)???f(a10)的值为（ C ）
A．－1 B．1 C．0 D．10a
解：因为函数f(x)的定义域为R，且f(x)是以2为周期的周期函数， 所以
f(0）?0，且f(x?2)?f(x)
35
数列，以