列；q=1时，?an?为常数列。
课堂演练
1． 在等比数列
?an?中，a1=2，前n项和为Sn，若
数列
?an?1?也是等比数列，则Sn等于（ C ）
?1
A．2n?2B．3nC．2nC．3n?1
2． 在各项均为正数的等比数列
?an?中，若
a5a6?9，则log3a1?log3a2???log3a10等于（ B ）
A．12 B．10 C．８ D．2?log35 3． 等比数列
?an?的前
n项和为
Sn，已知
SS成等差数列，则?a11，22，3S3n?的公比为3。
4． 设
?an?为公比为
q>1的等比数列，若
a2004和a2005是方程4x2?8x?3?0的两根，
则a2008?a2009= 162
解：因为4x2?8x?3?0分别为
x12，x31?2?2，又q?1?a1a3 2004?2，2005?2，q?3
a2008?a2009?a2004?q4?a52004?q?12(34?35)?1625． 数列?an?的前n项和Sn=2an－1，数列?bn?满
足：b1?3，bn?1?an?bn （n?N?）。
错误！未找到引用源。求证：?an?为等比数列； 错误！未找到引用源。求数列
?bn?的前n项和Tn。
解：错误！未找到引用源。由Sn=2an－1，有
Sn?1?2an?1?1，两式相减得an?1?2an?1?2an ?an?1?2an，由a1?1，an?0
得an?1a?2，所以?an?为等比数列。n且an?1n?a1?2?2n?1错误！未找到引用源。因为bn?1?an?bn
且a?1n?2n?b?1?b0?n?1?bbn?2n2?b1?2，b32?21，?，
bn?2n?bn?1?2上各式相加得bn?b1?20?21?22???2n?23?1?2n?1?bn??2n?1 ?T1?2?2n?b1?b0?2)2???b?(2?(21?n2)???(2n?1n?2)?1?2?2n?2n1?2?2n?16． 设
?an?为等比数列，a1?1，a2?3，错误！未
找到引用源。求最小的自然数n，使an≥2007，错误！未找到引用源。求和：T2n?1a?2?3?4???2n 1a2a3a4a2n解：错误！未找到引用源。由已知条件得
an?a1?(a2n?a)1?3n?11
因为36?2007?37故使an≥2007成立的最小自然数n=8 错误！未找到引用源。因为:
T12342n2n?1?3?32?33???32n?1 错误！未找
到引用源。
13T1232n?12n2n?3?32?33???32n?1?32n 错误！未找到引用源。
26
错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。得：
43T11112n2n?1?3?32?33???32n?1?32n1?12n13?32n?3??3?8n1?132n?4?32n 332n?2所以T?24n?92n?16?32n课外练习 一、 选择题
1． 在正数等比数列
?an?中，a1a99是方程x2?10x?16的两个根，则a40?a50?a60的值为
（ B ）
Ａ．32 Ｂ．64 Ｃ．?64 Ｄ．256
解：?a1?a99?16又a21?a99?a40?a60?a50
?a40a50a60?16?4?642． 已知等比数列
?an?的公比为q（q为实数）
，前n项和为S，且S，S3n3，S96成等差数列，则q等于（ B ）
A．1B．?1
2C．?1或1D．?1或?1
22解：若q?1，则S3?S6?9a12S9?18a1又a1?0所以S3?S6?2S9所以q?1不成立。
若q?1，则由S3?S6?2S9有a3691(1?q)q?a1(1?q)1?q?2a1(1?q)1?1?q得2q6?q3?1?0所以q3?1(舍去）或q3??123． 设等差数列
?an?的公差d不为零，a1=9d，若
ak是a1与a2k的等比中项，则k等于（ B ）
A．2 B．4 C．6 D．8 解：由条件知，a2k?a1?a2k
即（?8?k)d?2?9d?(8?2k)d，又d?0
?64?16k?k2?72?18k，k2
?2k?8?0所以k??2(舍去)或k?4，选B4． 已知等比数列
?an?的前
n项和
Sn?3n?a，则a?（ D ）
A．3 B．1 C．0 D．－１
解：因为a1?S1?3?a，n?2时，an?Sn?Sn?1?3n?3n?1?2?3n?1
??an?为等比数列，a1也满足上式 ?a1?2?31?1?2?3?a?a??1选D5． 三角形三边成等比数列，则公比q的取值范围是
??5?1，5?1??22?? ??解：设三角形三边为a,aq,aq2,则有
??a?aq?aq2?a?aq2?aq ??aq?aq2?a
即5?1?q?5?1226． 在等比数列
?an?中，
a5?a6?3，a15?a16?6,则a
25?a26?___解：?a5?a6?3，
27
a1015?a16?a5?q?a6?q10
?q10(a5?a6)?3?q10?6，?q10?2?a
25?a26?a5?q20?a6?q20?q20(a5?a6)?4?3?127．一种专门占据计算机内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后 45 分钟，该病毒占据内存64KB（1MB=210KB） 解：设病毒自身复制了n次，即有：
2?2n?64?210?216，?n?15
从而复制的时间T?15?3?45(分钟） 三、解答题
8．有四个数成等比数列，它们的积为16，且第4个数与第2个数的比也是16，求这四个数。 解：设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3
?a?aq?aq2?aq3?依题意有?16?aq3??aq?16?a4?1所以??q6?16?a???q2?16即??4?q??4故所求的四个数依次为 14，1，4，16或14，?1，4，?16或?14，?1，?4，?16或－14，1，?4，16注意：如果将四个数设为aa3m3，m，am，am将会
漏解。 9．数列
?an?的前n项的和为Sn(n?N?)，点（an，
Sn）在直线y?2x?3n上，
错误！未找到引用源。若数列?an?c?成等比数
列，求常数c的值；
错误！未找到引用源。求数列
?an?的通项公式；
错误！未找到引用源。求数列
?an?中是否存在三
项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出适合条件的项，若不存在，请说明理由。 解：错误！未找到引用源。由题意知，Sn=2an-3n
则Sn?1?2an?1?3(n?1)两式相减得：Sn?1?Sn?2an?1?2an?3?an?1 即aan?1?3n?1?2an?3，?a?2n?3故c?3错
误
！
未
找
到
引
用
源
。
?a1?S1?2a1?3?a1?3
由错误！未找到引用源。知，
an?3?(a11?3)?2n??3?2n
即an?3?2n?3
错误！未找到引用源。假设存在s,p,r?N?，因为an为递增数 列，故设：
s?p?r，使as，ap，ar成等差数列，所以2ap?as?ar即（23?2p?3)?(3?2s?3)?(3?2r?3)所以2p?1?2s?2r,所以2p?s?1
?1?2r?s（?）因为s,p,r?N?，且s?p?r,所以2p?s?r为偶数。而1?2r?s为奇数，?（?）式不成立所以这样的三项不存在。 10． 若公比为c的等比数列
?an?的首项a1=1，且满
aan?1?an?2n?2(n?3,4,?)
错误！未找到引用源。求c的值，错误！未找到
引用源。求数列
?nan?的前n项和Sn。
解：错误！未找到引用源。由题设，当n≥3时，
28
an?c2?an?2，an?1?can?2 a?a1?can?n?1n?2?an?222(1?c)an?221?c
由题设知an?2?0，因此c2?21解得c?1或c??2?c2?an?2?错误！未找到引用源。：由错误！未找到引用源。需要分两种情况讨论
当c=1时，数列
?111Sn?1?2(?)?3(?)2???n(?)n?1 错误！
222未找到引用源。
错误！未找到引用源。式两边同乘以?1，得 2?111Sn?1?(?)?2?(?)2??222
1n?11n?(n?1)?(?)?n(?)22?an?是一个常数列，即an=1，
?nan?的前n项和
（n?N）这时，数列
Sn?1?2?3???n?当c=?n(n?1)。 211时，数列?an?是一个公比为?的等比2212n?1数列。即an?(?)这时，数列
(n?N?)
311Sn?1?(?)?(?)2??22211?(?)n?1?n(?)n221 1?(?)n12?n(?)n?121?21?3n?2??Sn??4?(?1)n?n?1?(n?N?)9?2??nan?的前n项和
6.4 数列求和
知识要点
１． 求数列前n项和的基本方法
错误！未找到引用源。直接用等差、等比数列的求和公式求和；
?an?为无穷递缩等比数列时，S?a1 1?q错误！未找到引用源。错位相减法求和：如差数列，bn为等比数列，求a1b1的和。
n(a1?an)n(n?1)?na1?d22(q?1) ?na1?Sn??a1(1?qn)(q?1)??1?qSn?公比含字母时一定要讨论。
?an?为等
???a2b2???anbn错误！未找到引用源。分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 错误！未找到引用源。合并求和：如求
1002?992?982?972???22?12的和。
29
错误！未找到引用源。裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项：
Sn?1?3?5?7???(?1)n?1(2n?1)(n?N?)，则S17?S23?S50?（C）A．90C．?10B．10D．22111??n(n?1)nn?111?11?????(2n?1)(2n?1)2?2n?12n?1??11?11???错
n(n?1)(n?2)2?n(n?1)(n?1)(n?2)??n?n!?(n?1)!?n!n11??(n?1)!n!(n?1)!误！未找到引用源。公式法求和：
n解：S17?1?3?5?7???33??2?8?33?17S23?1?3?5?7???45??2?11?45?23S50?1?3?5?7???97?99??2?25??50所以S17?S23?S50?17?23?50??10，选C３．
?k2?k?1nn(n?1)(2n?1)62?n(n?1)?3k????2??k?1
111等于????1?44?7(3n?2)(3n?1)（ D ）
错误！未找到引用源。倒序相加法求和
错误！未找到引用源。其它求和法：如归纳猜想法、奇偶法等。
2．错误！未找到引用源。直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和公式的推导过程。
2n?23n?1n?1C．3n?1A．解：an?2n?13n?1nD．3n?1B．1(3n?2)(3n?1)错误！未找到引用源。求一般数列的前n项和，
111无通法可循，为此平时要注意掌握某些特殊数列?(?)4．
33n?23n?1前n项和的求法。
1111111错误！未找到引用源。数列求和时，要注意观察:S?(???????)n314473n?23n?1它的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或
11分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。 ?(1?)33n?1课前热身
n1．设数列 ?选D2233n?11，1?2，1?2?2，1?2?2?3，?，1?2?22???2n?1，?的前n项和为Sn，数则Sn的值为（A．2n－１C．2n?1?2解：由已知所以2．已知数列
列
?an?是等差数列，
D)B．2n－nD．2n?1?n?2a5?a6?10，则前20项和S20?100 ５．已知数列
?an?中，a1=1，a2?2+3，a3=4+5+6，
an?2n?1，Sn?2n?1?n?2，选Da4?7?8?9?10，则a10?505。
?an?的前n项和
30