高等代数习题册
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作业说明：教师每次讲完章节内容，同学们完成相应的习题，从开课第二周起，每周交一次作业。作业直接写在习题册上，写不下可写背面或另加页
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1.1数域 整数的整除性 一 填空题
1．（681，542）= . 2. 最小的数域是 . 二 证明题
1. 证明 Q(i)?{a?bi|a,b?Q,i??1}是数域.
?m?F?2．证明：?nm,n?Z?是一个数环. F也是一个数域吗？
??23．证明：两个数环的交还是一个数环. 4. 证明：b|a, a?0, 则 |b|?|a|.
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1.2 一元多项式
21．求f(x)?x4?4x3?1除以g(x)?x的商多项式和余式分别?3x?1为 .
2. 设 f(x),g(x)和h(x)都是实系数多项式，证明：若
f2(x)?xg2(x)?xh2(x)，则f(x)?g(x)?h(x)?0
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1.3 整除的概念 一、选择题
1．在F[x]里能整除任意多项式的多项式是（ ）.
A．零多项式 B．零次多项式 C．一次多项式 D．二次多项式
2．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）.
A.如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)?g(x) B.如果f(x)g(x),f(x)h(x)，那么f(x)(g(x)?h(x))
C.如果f(x)g(x)，那么?h(x)?F[x]，有f(x)g(x)h(x)
D.如果f(x)g(x),g(x)h(x)，那么f(x)h(x)
二、计算与证明题
1. 已知f(x)?x4?4x3?1, g(x)?x2?3x?1 ,求f(x)被g(x)除所得的商式和余式.
2. 令f1(x),f2(x),g1(x),g2(x)都是数域F上的多项式, 其中f1(x)?0且
g1(x)g2(x)f1(x)f2(x), f1(x)|g1(x)，证明: g2(x)|f2(x).
3．证明：x|f(x)k 当且仅当 x|f(x). 4．证明：xd?1|xn?1 当且仅当 d|n.
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1.4 最大公因式 一、 填空题
1. 设g(x)f(x)，则f(x)与g(x)的最大公因式为 . 2. 多项式f(x)，g(x)互素的充要条件是存在多项式u(x)，v(x)使得 .
3. 设d(x)为f(x)，g(x)的一个最大公因式, 则d(x)与(f(x),g(x))的关系为 .
4. 设f(x)?x4?x2?ax?b.g(x)?x2?x?2，若(f(x),g(x))?g(x)，则
a? ，b? . 5．设f(x),g(x)?F[x]，若?(f(x))?0, ?(g(x))?m，则?(f(x),g(x))= . 6. 若g(x)f(x), h(x)f(x)，并且 ，则g(x)h(x)f(x). 二 计算题
1．设f(x), g(x)?F[x], g(x)?0, 且f(x)?g(x)q(x)?r(x), 举例说明
(f(x),g(x))?(f(x),r(x))不成立.
2. 求多项式f(x)?4x4?2x3?16x2?5x?9，g(x)?2x3?x2?5x?4的最大公因式d(x)，以及满足等式f(x)u(x)?g(x)v(x)?d(x)的u(x)和v(x). 3. 求多项式f(x)?x3?2x2?2x?1与g(x)?x4?x3?2x2?x?1的公共根.
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