高等代数习题册
?3?0（1）??5??23?4?3??1111????11?1?1611?? （2）??1?11?1?421????332??1?1?11??11?1??1?1?????2．设?022?X??11?，求矩阵X.
?1?10??21?????
第五章 二次型
5.1 二次型的矩阵表示
1．二次型f(x,y,z)??x2?y2?z2?xy?xz?yz的矩阵是_____ ______.
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??1?,3?)?xx,??2．二次型f(x1,x2x1,x2??3??3?______.
n22432???1??x1?1???2?x?的2矩阵是_____ ?2????x3??1???n?23. 二次型n?xi???xi?的矩阵是_____ ______.
i?1?i?1?a114. 设A?aija12a22an2x2a1na2nannxnx1x2的
??a21n?n. 二次型f?x1,x2,,xn??an1x1xn0矩阵是
_____ ______.
5. 设A, B是两个同级的对称矩阵，证明：二次型XTAX可用非退化线性替换化为二次型YTBY的充要条件是：A与B合同. 6. 设A是一个可逆的对称矩阵，证明：A与A?1合同.
5.2 标准型
1. 分别用配方法和初等变换法求一个非退化线性替换把二次型
2f(x1,x2,x3)?2x12?x2?4x2x3?4x1x2
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化为标准形.
2. 给定二次型f(x,y,z)??4xy?2xz?2yz.
1） 将其化为标准型；
2） 指出f(x,y,z)?a2是什么曲面； 3.设A是一个n阶矩阵，证明：
1）A是反对称矩阵当且仅当对任一个n维向量X有X'AX?0； 2）如果A是对称矩阵，且对任一个n维向量X有X'AX?0，那么A?0.
5.3 复数域和实数域上的二次型
1. 设n阶实对称矩阵A合同于一个主对角线上有p个正元素， r?p个负
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元素的对角矩阵，则二次型x'Ax在复数域上的规范形是 ，在实数域上的规范形是 ，符号差为 . 2. 设f(x1,x2,2,xn)?l12?l2?22?lp?lp?1?2?lp?q，其中
li (i?1,2,,p?q)是x1,x2,,xn的一次齐次式. 证明：f(x1,x2,,xn)的正惯性指数?p，负惯性指数?q.
5.4 正定二次型
0??11??0?是正定矩阵，则k满足条件__________________. 1. A??1k?00k?2???
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2. 当t满足条件什么条件时，二次型
22f?x12?2x2?3x3?2x1x2?2x1x3?2tx2x3是正定的?
nn3. 证明：n个变量的二次型f(x1,x2,条件是其一切主子式都大于零.
,xn)???aijxixj是正定的充要
i?1j?14. 设A是n级实对称矩阵，证明：存在一正实数c使对任一个实n维向量x都有x'Ax?cx'x.
?n?25. 证明：n?xi???xi?是半正定的.
i?1?i?1?2226. 设二次型f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?4x2x3，
n2(1) 求一个正交变换化二次型为标准形， (2) 设A为上述二次型的矩阵，求A 7 设A为正定矩阵，证明：A?E?1。
第六章 向量空间
6.1 向量空间的定义与简单性质
1. 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的向量空间： 1）次数等于n（n?1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和
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