高等代数习题册
间?V1?V2??V3?( ).
A. L????,?? B. L????,???? C.空集 D.零子空间
2. 设V?F4，
?1?(1,2,1,0)，?2?(?1,1,1,1)，?3?(2,?1,0,1)，
?4?(1,?,3,7)，V的子空间V1?L(?1,?2)，V2?L(?3,?4).
1) 求?的值，使dim(V1V2)?1；
2）对所求得的?，求V1?V2的维数与一组基.
3. 设V1, V2是向量空间V的两个互不包含的非平凡的子空间，证明：在V中存在?使??V1, ??V2同时成立.
6.7 子空间的直和 一．判断题
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1. 设V1, V2都是数域F上有限维向量空间V的子空间，并且维(V1)?维
(V2)?维(V)，则V?V1?V2. ( )
2. 设V1, V2, V3都是向量空间V的子空间，而且任意两个的交为零空间， 则V1?V2?V3是直和. ( )
3. 设V1，满足 V1V2均为向量空间V的子空间，( ) 二．证明题
1. 设A为n阶方阵，记
则V?V1?V2. V2?{0}，
W1??x?Rn|Ax?0?，W2??x?Rn|(A?E)x?0?
证明A为幂等矩阵当且仅当Rn?W1?W2.
2. V?Mn(F)为数域F上n阶方阵全体所组成的向量空间，V1为数域F上全体n阶对称方阵的集合，V2为数域F上全体n阶反对称方阵的集合，证明：V1和V2均为V的子空间，且有V?V1?V2.
3. 设V?{(a,b)|a,b?F}, W?{(a,0)|a?F},W1?{(0,b)|b?F},
W2?{(b,b)|b?F}, 证明：W1和W2都是W的余子空间.
4. 证明：和?Vi是直和的充分必要条件是零向量的表示法是唯一的.
i?1s
6.8 线性映射、向量空间的同构 1. 对下列情形各构造一个映射：
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1) 是满射但不是单射； 2) 是单射但不是满射；
3) 既是满射又是单射，并写出其逆映射.
2. 设M,M'与M''是集合, ?是M到M'的一个映射, ?是M'到M''的一个映射,如果?，?都是单射,则??也是单射； 如果?，?都是满射,则??也是满射.
3 判断下列映射是否为线性映射：其中哪些是同构映射?
1) ?:(x1,x2.,x3,x4)2) ?:(x1,x2.,x3,x4)3) ?:(x1,x2.,x3,x4)4) ?:(x1,x2.,x3,x4)5) ?:(x1,x2.,x3)(x2.,x3,x4,x1)； (x2.,x3,x4)； (x2.?x3,x4,x1)；
222(x12,x2,x3,x4)； 22 x12?x2?x34. 设F是数域，F1[x]是数域F上只含奇数次项的多项式全体，F2[x]是数域F上只含偶数次项的多项式全体. 证明：F1[x]与F2[x]都是数域F上的向量空间，且它们同构.
第七章 线性变换 7.1线性变换
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1. 判断下面所定义的变换?，哪些是线性的，哪些不是： 判断下面所定义的变换?，哪些是线性的，哪些不是：
1) 在向量空间V中，??????，其中??V是一固定的向量；
2 2) 在F3中，??x1,x2,x3??x12,x2?x3,x3；
?? 3) 把复数域看作复数域上的向量空间，????；
4) 在Mn(F)中，?(X)?BXC，其中B,C?Mn(F)是两个固定的矩阵. 2. 设V?F[x],V是数域F上向量空间，f(x)?anxn?an?1xn?1是V中多项式，下列对应法则是不是V的线性变换？
1) ?1:f(x)3) ?3:f(x)?a1x?a0f(0); 2) ?2:f(x)a1x; 4) ?4:f(x)f?(x); f(x?1)
7.2 线性变换的运算
1. 在F[x]中，?f?x??f'?x?, ?f?x??xf?x?，证明：???????，其中?为单位变换.
2. 设?,?是线性变换，如果???????，证明：?k????k?k?k?1, k?1.
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7.3 线性变换的矩阵
1．求下列线性变换在所指定基下的矩阵：
1）在F3中，设变换?为??x1,x2,x3???2x1?x2,x2?x3,x1?，求?在基
?1??1,0,0?, ?2??0,1,0?,? 3??0,0,1?下的矩阵；
2） [O;?1,?2]是平面上一直角坐标系，?1是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影，?2是平面上的向量对?2的垂直投影，求
?1, ?2, ?1?2在基?1, ?2下的矩阵；
2. 设三维向量空间V上的线性变换?在基?1, ?2, ?3下的矩阵为
?a11?A??a21?a?311) 求?在基?1, ?2, ?3下的矩阵；
a12a22a32a13??a23?. a33??2) 求?在基?1, k?2, ?3下的矩阵，其中k?F且k?0； 3) 求?在基?1??1, ?2, ?3下的矩阵.
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