高等代数习题册
1.8 复系数与实系数多项式 一 填空或选择题
1．在实数域上多项式f(x)?x3?x2?2x?2的标准分解式为 . 2．下面论述中, 错误的是( ) .
A. 奇数次实系数多项式必有实根； B. 代数基本定理适用于复数域；
C．任一数域包含Q；
D．在F[x]中, f(x)g(x)?f(x)h(x)?g(x)?h(x).
二 求下列多项式在复数域和在实数域内的因式分解： 1. xn?x; 2. xn?xn?1?三、证明题:
1 若f(x)|g(x)，则 f(x)g(x).
2 若 d(x)?(f(x),f(x))，且?(d(x))?1，则d(x)为实系数多项式.
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?x?1.
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1.9 有理数域上多项式 一 选择或判断题
1. 整系数多项式f(x)在Z不可约是f(x)在Q上不可约的( ) 条件.
A. 充分 B. 充分必要 C.必要 D．既不充分也不必要
2. 若整系数多项式f(x)在有理数域可约，则f(x)一定有有理根.（ ） 3. 若f(x)无有理根，则f(x)在Q上不可约.（ ） 4. 两个本原多项式的和仍是本原多项式.（ ）
5. 对于整系数多项式f(x)，若不存在满足艾森施坦判别法条件的素数p，那么f(x)不可约.（ ） 二 计算或证明题
1. 在有理数域上分解多项式x3?2x2?2x?1为不可约因式的乘积. 2. 求下列多项式的有理根：
（1）4x4?7x2?5x?1； （2）x3?6x2?15x?14. 3．判断下列多项式在有理数域上是否可约：
（1）x4?8x3?12x2?2； （2）x3?x3?1； （3）xp?px?1，
p为素数.
（4）x2?1．
4. 设p为素数，a为整数，f(x)?axp?px?1，且p2(a?1)，证明：f(x)在有理数域上不可约.
5. 设f(x)是一整系数多项式，若f(0)?f(1)是奇数，则f(x)没有整数根. 6*. 求以2?3为根的有理系数的不可约多项式.
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1.10 多元多项式
1．4x4y?7x2y6?5x5?1的首项是 . 1,11 对称多项式 一 填空题
. 设?1,?2,?3为方程.x3?px2?qx?r?0.的根，其中r?0，则 1?1?2??2?3??3?1? ; 2.
?1?1?2?31?1?1= ; ?3?13. ?12??22??32? ; 4. 1?1?1 = . ?1?2?3二 计算或证明题
1. 用初等对称多项式表示对称多项式(x1?x2)(x1?x3)(x2?x3). 2. 用初等对称多项式表示下列n元对称多项式：
23； (2) ?x1(1) ?x12x2x2. l1l2这里，?ax1x2lnl1l2xn表示所有由ax1x2lnxn经过对换得到的项的和.
3. 求x3?ax?b的判别式.
4. 求三次方程，使其三个根分别是三次方程x3?ax2?bx?c?0的三个根的立方.
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第二章 行列式 2.2排列 一 填空题
1. 对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性 . 2. 按自然数从小到大为标准次序，排列451362的逆序数为 ，523146879的逆序 数为 .
3. 按自然数从小到大为标准次序，若9元排列1274i56k9是奇排列，则
i?_____,k? _______.
4. 设n级排列i1i2
in的逆序数为k，则?(inin?1i2i1)= . 14
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2.3 n级行列式 一 选择题
1．以下乘积中，5级行列式D?aij中取负号的项为（ ） .
C．a23a51a32a45a14；D.a13a32a24a45a54 A.a31a45a12a24a53； B.a45a54a42a12a33；
002. 设005000002x03x0400000x00??15， 则x?( ). 00A.-1/3； B.1/2； C．1/8； D.-1/2
二 计算与证明
001．按定义计算行列式
000120.
0n?1n000002xx121x1?12．由行列式定义计算f(x)?中x4与x3的系数.
32x1111x
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