高等代数习题册
*3.6 二元高次方程组 1 求解方程组
?x2?y2?4x?2y?3?0 ?22x?4xy?y?10y?9?0?2 问?取何值时，多项式
3 f(x)?x，g(x)?x2??x?2 有公共零点？ ??x?2
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第四章 矩阵 4.1 矩阵的运算 一．选择题
1. 若矩阵A，B满足AB?O，则（ ）.
A.A?O或B?O；B.A?O且B?O；C．A?O且B?O；D.以上结
论都不正确
2. 设A,B为n阶方阵，A?O，且AB?O，则（ ）.
A.B?O B.B?0或A?0 C．BA?O D.?A?B??A2?B2
3. 设A为3?4矩阵，B为2?3矩阵，C为4?3矩阵，则下列乘法运算不能进行的是（ ）。
A.BC'A' B.ACB' C．BAC D.ABC 4. 设A?21(B?E)，则A2?A的充要条件是（ ）. 2A. B?E； （B）B??E； C．B2?E； D. B2??E.
二．计算与证明
?121??1?23?????1. 设A??122?，B???1?2?4?, 计算3AB?2B
?1?11??311??????ab?22. 设A???, 则当a,b,c,d满足何条件时,A?A' ？A?A ？为什
?cd?么？
?1a1???1a2??11?3．设A?，B?????b1b2???1an?
4.2 矩阵乘积的行列式与矩阵的逆 一．选择题
1??．计算AB及BA. bn?1. 如果AB?BA?E，那么矩阵A的行列式A应该有（ ）.
A.A?0； B.A?0； C．A?k,k?1； D.A?k,k??1
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2. A是n阶矩阵，k是非零常数，则kA? ( ).
A. kA； B. kA； C． knA D. |k|nA
3 A,B为n阶方阵，A?O，且R(AB)?0，则（ ）.
A.B?O； B.R(B)?0； C．BA?O；D.R(A)?R(B)?n.
4. 设A*为n(n?2)阶方阵A的伴随矩阵且A可逆，则结论正确的是（ ）
A. (A*)*?|A|n?1A B. (A*)*?|A|n?1A
C．(A*)*?|A|n?2A D.(A*)*?|A|n?2A
5. 设A*为n阶方阵A的伴随矩阵，则A*A?（ ）.
A.An2 B.A C．Ann2?n D.An2?n?1
6. 设A、B为n阶矩阵，则下面总是成立的是（ ）。 A A?B?A?B B (A?B)?1?A?1?B?1 C AB?BA D AB?BA 7. 设A、B为n阶方阵，则有（ ）.
A. A，B可逆，则A?B可逆 B. A，B不可逆，则A?B不可逆
C．A可逆，B不可逆，则A?B不可逆 D. A可逆，B不可逆，则AB不可逆
8. A，B，C是同阶方阵，且ABC?E，则必有（ ）.
； C．CAB?E; D． CBA?E. A. ACB?E； B. BAC?E9. 若由AB?AC必能推出B?C（A,B,C均为n阶方阵），则A 满足( ).
A.A?0 B.A?O C．A?O D.AB?0
k为任意常数，10. 设A为任意阶(n?3)可逆矩阵，且k?0，则必有(kA)?1?（ ）.
A.knA?1 B.kn?1A?1 C．kA?1 D.
1?1A k11. 设n阶矩阵A满足A2?A?2E?0，则下列矩阵哪些可能不可逆（ ），哪些一定可逆（ ）.
A. A?2E; B. A?E; C． A?E; D. A.
12. 设原方程组为AX?b，且R?A??R?A,b??r，则和原方程组同解的方
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程组为( ).
； A.ATX?b； B.QAX?b（Q为初等矩阵）C．PAX?Pb（P为可逆矩阵）； D.原方程组前r个方程组成的方程
组. 二．填空题
1．设矩阵A可逆，且A?1，则A的伴随矩阵A?的逆矩阵为 . 2. 设P、Q都是可逆矩阵，若PXQ?B，则X? . etA?1? ，det(AAT)? ，3. 设A为5阶方阵，且detA?3，则dA的伴随
矩阵A?的行列式det(A?)? . 4. 设A为4阶矩阵，且A?2,则 2AA*?____________. 5. A为3阶矩阵，A?0.5，则(2A)?1?5A?=（ ）. 三．证明
1. 设n阶可逆方阵A的伴随方阵为A*, 试证：（1）detA??(detA)n?1； （2）(A?)??(detA)n?2A.
2. 若n阶矩阵A满足A2?A?2E?O，证明A?E可逆，并求?A?E?. 3. 若n阶矩阵A满足A2?2A?4E?O，证明A?E可逆，并求?A?E?. 4. 设A,B是n阶可逆矩阵, 证明: (1) (A')?1?(A?1)'； (2) 乘积AB可逆. 5. 已知n阶方阵A可逆，证明：A的伴随方阵A*也可逆,且(A*)?1?(A?1)*. 6. 设A, B为两个n阶方阵. 证明：?AB??B*A*.
4.3 矩阵的分块 初等矩阵 一、计算与证明
*?1?1?E1. 设A，B均为n阶方阵，（1）计算 ??0（2）证明：
E??AB??E?E??????; E??BA??0E?AB?A?B?A?B. BA2．设A、B为同阶矩阵，求证：R(A?B)?R(A)?R(B).
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3．设A、B为n阶方阵，证明：如果A2?B2，那么R(A?B)?R(A?B)?n. 4． 设A为n阶方阵，求证，R(A?E)?R(A?E)?n.
5. n阶方阵A满足A2?2A?4E?O，若A?E的秩为n，证明：A?3E的秩也为n.
6． 设A，B，C，D都是n阶矩阵，其中A?0并且AC?CA，证明：
AB?AD?CB. CD?07．设X???B
二．填空题
1．对矩阵施行一次初等行变换相当于在矩阵的 边乘一个相应的初等矩阵；对矩阵施行一次初等列变换相当于在矩阵的 边乘一个相应的初等矩阵.
2． 利用初等变换求矩阵的逆矩阵时通常可用两种方式：(1) 将矩阵A与E拼成形式(AE)，此时将拼成的矩阵只能施行初等 变换将A化为E；(2)将矩阵A与E拼
A??，已知A,B均可逆，证明X可逆，并求其逆矩阵. 0??A?成形式??，此时将拼成的矩阵只能施行初等 变换将A化为E.
?E??A??E?3．分块矩阵??经过一系列的初等列变换化为??，则C? .
?B??C?4．分块矩阵?AB?经过一系列的初等行变换化为?EC?，则C? . 三．计算
1．用初等变换法判别下列矩阵是否可逆，可逆时求其逆矩阵：
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