高等代数习题册
数量乘法；
2）设A是一个n?n实矩阵，A的实系数多项式f?A?的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；
3）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；
4）全体实数的二元数组，对于下面定义的“加法”和“数量乘法”：
?a1,b1???a2,b2???a1?a2, b1?b2?a1a2?，
k?k?1?2??k?a1,b1???ka1, kb1?a1?.
?2?2. 证明：在向量空间的定义中，第1）条加法交换律可由其余7条规则推出. (考虑(1?1)(???))
6.2 向量的线性相关性 1. 证明，如果向量组?1,?2,则?1,?2,,?r中有两向量成比例，即?i?k?j,k?F,
但不能由?1,?2,,?r线性表出，
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,?r线性相关.
,?r?1线性表
2. 如果向量?可由?1,?2,
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出，证明，向量组?1,?2,
6.3 向量空间的基 坐标
4,?r与向量组?1,?2,,?r?1,?等价.
1 . 在F中，求向量?在基?1,?2,?3,?4下的坐标，其中???1,2,1,1?，
?1??1,1,1,1?，?2??1,1,?1,?1?，?3??1,?1,1,?1?，?4??1,?1,?1,1?.
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2 . F为数域，?1???10??11??11??11?，，，??????234????????00??10??11??00??12??在这组基下的坐标. ?34?为向量空间V?M2(F)的一组基，求???3. 分别求Mn(F)中全体对称、反对称与上三角矩阵所成的向量空间的维数与一组基.
4. 设n为正整数. 证明：V??f(x)|f(x)?R[x]n且f(1)?0?是实数域
R上的向量空间，并求出它的一组基.
6.4 基变换与坐标变换
1 . 在F中，给定如下两组基：
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??1??1,1,1,1?,??1??1,1,0,1?,????1,1,?1,?1,???2??2,1,3,1?,?2? ?? ??3??1,?1,1,?1?,??3??1,1,0,0?,???1,?1,?1,1,???0,1,?1,?1.??4???4?1） 求由?1,?2,?3,?4到?1,?2,?3,?4的过渡矩阵； 2） 求???1,0,0,?1?在?1,?2,?3,?4下的坐标；
3） 求一非零向量?，使它在?1,?2,?3,?4与?1,?2,?3,?4下有相同的
坐标.
2. 设C[x]n是复数域C上次数小于n?n?2?的所有多项式再添上零多项式所成的向量空间，?1,?2,,?n为全体n次单位根. 令 (x??i?1)(x??i?1)(x??n)，i?1,2,,n.
fi(x)?(x??1)1) 证明：f1(x),f2(x),2) 求由基1,x,
6.5子空间
,fn(x)是C[x]n的一组基；
,fn(x)的过渡矩阵.
,xn?1到基f1(x),f2(x),1 .下列集合中是R的子空间的是 .
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W1?{(x1,x2, W2?{(x1,x2,nx)i|x?R,1x?x)i|x?R,1x?,a,b)?a|b,R,21x?2x?2 ?nx?；0}nx?R}?n；x }；
W3?{(a,b,a,b,W4?{(x1,x2, W5?xn)|xi为整数}；
,nx?i??x,1x2,x?22x?2； ?nx?1?W6?{(x1,x2,W7?{(x1,x2,W9xn)|xi?R,x1?x2?xn)|xi?R,x1x2,xn?,R?,xn?R?.
,xn)x2,?xn?1}；
；
xn?0}；
,2,xn,x)2 W8?(1x2???(0,x,2. 设A,B?Mn(F) , W?XAX?XB,X?Mn(F). 证明: (1) W是向量空间Mn(F)的一个子空间. (2) 若B?E,且A?E?0,则W??0?.
3. 如果c1??c2??c3??0，且c1c3?0，证明：L??,???L??,??. 4. 在F中，求由?1,?2,?3,?4生成的子空间的基与维数，其中
4???1??2,1,3,1?; ?2??1,2,0,1?; ?3???1,1,?3,0?; ?4??1,1,1,1?.
5. 设V1, V2都是向量空间V的子空间，且V1?V2，证明：如果V1, V2的维数相等，那么V1?V2.
6.6 子空间的交与和
1. 设向量?,?,?线性无关, 记V1?L???,V2?L???,V3?L???,则子空
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