微分方程讲义

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第一讲 微分方程的基本概念 教学要求： 微分方程的基本概念以及微分方程阶的概念。 重 点：微分方程的基本概念，微分方程阶的概念 难 点： 微分方程的概念； 微分方程阶的概念 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 微分方程的问题举例 30分钟 3 微分方程概念以及阶数练 45分钟 课后 作业 参考 资料 定积分的概念与性质 一、复习导数和高阶导数的概念 二、微分方程问题举例及引出 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映?利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究?因此如何寻找出所需要的函数关系?在实践中具有重要意义?在许多问题中?往往不能直接找出所需要的函数关系?但是根据问题所提供的情况?有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式?这样的关系就是所谓微分方程?微分方程建立以后?对它进行研究?找出未知函数来?这就是解微分方程? 例1一曲线通过点(1?2)?且在该曲线上任一点M(x?y)处的切线的斜率为2x?求这曲线的方程? 解设所求曲线的方程为y?y(x)?根据导数的几何意义?可知未知函数y?y(x)应满足关系式(称为微分方程) dy?2x? (1) dx此外?未知函数y?y(x)还应满足下列条件? x?1时?y?2?简记为y|x?1?2? (2) 把(1)式两端积分?得(称为微分方程的通解) y??2xdx?即y?x2?C? (3) 其中C是任意常数? 把条件“x?1时?y?2”代入(3)式?得 2?12?C? 由此定出C?1?把C?1代入(3)式?得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x?1?2的解)? y?x2?1? 例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶?当制动时列车获得加速度?0?4m/s2?问开始制动后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米?根据题意?反映制动阶段列车运动规律的函数s?s(t)应满足关系式 d2s??0.4?(4) 2dt此外?未知函数s?s(t)还应满足下列条件? t?0时?s?0?v?ds?20?简记为s|=0?s?|=20? (5) t?0t?0dt 把(4)式两端积分一次?得 dsv???0.4t?C1? (6) dt再积分一次?得 s??0?2t2 ?C1t?C2? (7) 这里C1?C2都是任意常数? 把条件v|t?0?20代入(6)得 20?C1? 把条件s|t?0?0代入(7)得0?C2? 把C1?C2的值代入(6)及(7)式得 v??0?4t?20?(8) s??0?2t2?20t? (9) 在(8)式中令v?0?得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 t?20?50(s)? 0.4再把t?50代入(9)?得到列车在制动阶段行驶的路程 s??0?2?502?20?50?500(m)? 解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米? s????0?4? 并且s|t?0=0?s?|t?0=20? 把等式s????0?4两端积分一次?得 s???0?4t?C1? 即v??0?4t?C1(C1是任意常数)? 再积分一次?得 s??0?2t2 ?C1t?C2 (C1?C2都C1是任意常数)? 由v|t?0?20得20?C1? 于是v??0?4t?20? 由s|t?0?0得0?C2?于是s??0?2t2?20t? 令v?0?得t?50(s)? 于是列车在制动阶段行驶的路程 s??0?2?502?20?50?500(m)? 二、微分方程的定义 微分方程?表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程?叫微分方程? 常微分方程?未知函数是一元函数的微分方程?叫常微分方程? 偏微分方程?未知函数是多元函数的微分方程?叫偏微分方程? 微分方程的阶?微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数?叫微分方程的阶? x3 y????x2 y???4xy??3x2 ? y(4) ?4y????10y???12y??5y?sin2x? y(n) ?1?0? 一般n阶微分方程? F(x?y?y??????y(n) )?0? y(n)?f(x?y?y??????y(n?1) ) ? 微分方程的解?满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解?确切地说?设函数y??(x)在区间I上有n阶连续导数?如果在区间I上? F[x??(x)???(x)??????(n) (x)]?0? 那么函数y??(x)就叫做微分方程F(x?y?y??????y(n) )?0在区间I上的解? 通解?如果微分方程的解中含有任意常数?且任意常数的个数与微分方程的阶数相同?这样的解叫做微分方程的通解? 初始条件?用于确定通解中任意常数的条件?称为初始条件?如 x?x0 时?y?y0 ?y?? y?0 ? 一般写成 ?? yx?x0?y0?y?x?x0?y0特解?确定了通解中的任意常数以后?就得到微分方程的特解?即不含任意常数的解? 初值问题?求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题? 如求微分方程y??f(x?y)满足初始条件yx?x0?y0的解的问题?记为 ??y??f(x,y)? ?y?y??x?x00积分曲线?微分方程的解的图形是一条曲线?叫做微分方程的积分曲线? 例3验证?函数 x?C1cos kt?C2 sin kt 是微分方程 d2x?k2x?0 2dt的解? 解求所给函数的导数? dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt)? 12122dtd2x将2及x的表达式代入所给方程?得 dt?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0? d2x?k2x?0这表明函数x?C1coskt?C2sinkt满足方程2?因此所给函数是所给方程的解? dt d2x例4 已知函数x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程2?k2x?0的通解?求满足初始条件 dtx| t?0 ?A?x?| t?0 ?0 的特解? 解由条件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt?得 C1?A? 再由条件x?| t?0 ?0?及x?(t) ??kC1sin kt?kC2cos kt?得 C2?0? 把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中?得 x?Acos kt? 练习： 1一曲线过点?1，2?，且在该曲线上任一点?x,y?处的切线斜率为2x，求该曲线的方程。 y?f?x?，则它满足 解：设所求曲线的方程为??y??2x ???yx?1?22y?x?c (c是任意常数 ) 把方程两端积分，得22?1?c 由初始条件，有由此定出c?1 2y?x?1 故所求曲线的方程为2验证：函数 y?c1ex?c2xex(c1,c2是任意常数) 是微分方程 y??解：y?2y??y?0 的通解。 ?c1ex?c2xex y??c1ex?c2ex?c2xex， ?2y???2c1ex?2c2ex?2c2xex y???c1ex?2c2ex?c2xex 显然y??故 y?2y??y?0 ?c1ex?c2xex 是微分方程的解。因c1,c2是相互独立的两个任意常数，而微分方程的阶数是二阶的，故它微分方程的通解。