微分方程讲义(8)

也是微分方程?的解，且 y2e?xsin?x??x?tg?x?常数 y1ecos?x所以，微分方程?的通解为 y?c1e?xcos?x?c2e?xsin?x 综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程 y???p?y??q?y?0? 的通解的步骤如下 第一步写出微分方程?的特征方程 r2?p?r?q?0? 第二步求出特征方程?的两个根r1,r2。 微分方程 y??p?y??q?y?0的通解 第三步据特征方程的两个根的不同情形， 依下表写出微分方程的通解。 特征方程r2?p?r?q?0的两个根r1,r2 两个不相等的实根r1,两个相等的实根r1r2 y?c1?er1?x?c2?er2?x y?er1?x(c1?c2x) y?e?x(c1cos?x?c2sin?x) ?r2 一对共轭复根r1,2???i? 【例1】求微分方程y???2y??3y?0的通解。 解：所给微分方程的特征方程为 r2?2r?3?0 其根为r1??1,r2?3 ?c1e?x?c2e3x 因此所求通解为y【例2】求微分方程y???2y??5y?0的通解。 解：所给方程的特征方程为 r2?2r?5?0 2?4?4?5?1?2i 其根为r?2