微分方程讲义(2)

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第二讲 可分离变量的微分方程 教学要求： 掌握可分离变量的微分方程的解法 重 点：掌握可分离变量的微分方程的解法 难 点： 可分离变量的微分方程的解法 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 10分钟 2 可分离变量的微分方程45分钟 3 练习 35分钟 课后 作业 参考 资料 如果一阶微分方程能化成 g(y)dy?f(x)dx 的形式，那么原方程称之为可分离变量的微分方程。 为讨论这类微分方程的求解，我们先看两个引例 对于一阶微分方程 dy?2x dx只需将上式两端积分就得到了这个方程的通解 y?x2?c 但是，并非所有的一阶微分方程都能这样求解。 例如，对于一阶微分方程 dy?2xy2 dx就不能直接两端取积分求出它的通解。原因是方程右端含有未知函数，积分出来。为了解决这个困难，在方程的两端同乘以2?2xydx求不dxy2，使方程变为dyy2?2xdx 这样，变量y与x被分离在等式的两端，然后两端积分得 12?2xdx???x?c?2?yy 如此得到的函数是原来的微分方程的解吗? 直接验证：对方程两边关于x求导，有 dy1dy??2x?2dxy可见，它确实是原方程的通解。 下面讨论可分离变量微分方程 dy?2xy2dx g(y)dy?f(x)dx? 的求解。 假定函数设yf(x)和g(y)是连续的。 ??(x)是方程?的解，将它代入方程得到恒等式 g[?(x)]???(x)dx?f(x)dx 将上式两端积分有 ?g[?(x)]???(x)dx??f(x)dx 引入变量替换y??(x)，得 ?g(y)dy??f(x)dx 设G(y)及F(x)依次为g(y)及f(x)的原函数，于是有 G(y)?F(x)?c? 因此，方程?的解满足关系式?。 反之，如果y数的直接求导法有 ??(x)是?式所确定的隐函数，那未在g(y)?0的条件下，据隐函dydyG?(y)??F?(x)?g(y)??f(x)?g(y)dy?f(x)dx dxdx因此，函数y??(x)满足方程?。 f(x)和g(y)连续，且g(y)?0，那么?式两端积分后f(x)?0时，?式所确综合上述讨论有 如果可分离变量方程?中的得到的关系式?，它用隐式的形式给出了方程?的解。 由于?式含有任意常数，故?式叫做微分方程的隐式通解( 当定的隐函数也可认为是方程?的解)。 【例1】设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t?0)速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系。 解：设伞下落速度为v(t)，在下落时，同时受到重力P与阻力R的作用，重力大小为mg，方向与v一致;阻力大小为kv(k为比例系数 )，方向与v相反，从而伞所受外力为 F?mg?kv 据牛顿第二运动定律F?ma，得到函数v(t)应满足微分方程 ?dv?m?mg?kv ?dt?v?t?0?0dvdt方程是可分离变量的，分离变量得? mg?kvm两端积分，有 dvdt???mg?kvm1t??ln(mg?kv)??c1 kmk??tmgv??c?em kt??kc1mg?kv?e?em?k1?kc1其中c???e kmg由初始条件 vt?0?0，有c??k 于是所求的函数为 k??tmgv?(1?em) k【例2】有高为100厘米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积为1平方厘米，开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里的水面的高度h( 水面与孔口中心间的距离 )随时间t变化的规律。 解：由水力学知道，水从孔口流出的流量Q( 即通过孔口横截面的水的体积V对时间t的变化率 )可用下列公式计算 dVQ??0.62?s2gh dt这里，0.62为流量系数，s为孔口横截面面积，g为重力加速度。 现在，孔口横截面面积为s ?1 dV?0.622ghdt?dV?0.622gh?dt 另一方面，设在微小时间间隔[t,t?dt]内，水面高度由h降至h?dh，可得到dV???r2dh 其中r是时刻t时的水面半径，右端置负号是由于dh?0，而dV?0。 如图，r?1002?(100?h)2?200h?h2 dV???(200h?h2)dh 得到微分方程0.622gh?dt???(200h?h2)dh 及初始条件ht?0?100 方程是可分离变量的方程 13dt???0.622g(200h2?h2)dh t???0.622g(400353h2?25h2)?C 将初始条件代入，定出常数C。 0???(400350.622g31002?251002)?C C??14g?15?1050.622