微分方程讲义(7)

分离变量，得 1ldt??R2g两端积分，得 ydy l?y1l?y?2t??ly?y?larccos??c2 R2g?l?由条件yt?0?l，得c2?0 于是上式成为 1l?y?2t??ly?y?larccos? R2g?l?在上式中令y?R，便得到物体到达地面所需的时间为 1l?R?2?lR?R?larccos? R2g?l? 课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第八讲二阶常系数齐次线性微分方程 教学要求： 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法. 重 点： 1．二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程； 2．二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构。 难 点： 二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构。 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 10分钟 2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 15分钟 3 例题及练习 45分钟 课后作业 参考资料 一、二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式 方程 y???p?y??q?y?0? 其中p,q是常数，称之为二阶常系数齐次线性方程； 如果p,q不全为常数， 则称它为二阶变系数齐次线性微分方程。 二、二阶常系数齐次线性微分方程的通解 由第八节的讨论可知，要找微分方程?的通解，可先求出它的两个解y1与y2，如果y1?常数，即y1与y2线性无关，那未y?c1y1?c2y2就是方程的通解。 y2对于指数函数y?er?x(r为常数)，若它是方程?的解，则有 q?y?q?er?x p?y??p?r?er?x 1?y???r2?er?x y?er?xy??r?er?xy???r2?er?xy???p?y??q?y?(r2?p?r?q)?er?x?0 由于er?x?0，从而有 r2?p?r?q?0? 由此可见，只要r满足代数方程?，函数y代数方程叫做微分方程?的特征方程。 ?er?x就是微分方程?的解。我们把此二阶常系数齐次线性方程的特征方程记忆y???p?y??q?y?0??? r2?p?r?q?1?0特征方程的两个根r1 ,r2，可用公式 ?p?p2?4qr1,2? 2求出，它们有三种不同的情形： (1)、当p2?4q?0时，r1,r2是两个不相等的实根： ?p?p2?4q?p?p2?4qr1?,r2? 22(2)、当p2?4q?0时，r1,r2是两个相等的实根： r1?r2??p 2(3)、当p2?4q?0时，r1,r2是一对共轭复根： r1???i?,r2???i? 4q?p2p,??其中???22r(1)、特征方程有两个不相等的实根：1由上面的讨论知道，y1 相应地，微分方程?的通解也就有三种不同的情形，现分别讨论如下： ?r2 ?er1?x与y2?er2?x均是微分方程的两个解，并 y2er2?x且?r?x?e(r2?r1)?x不是常数，因此微分方程?的通解为 y1e1y?c1?er1?x?c2?er2?x (2)、特征方程有两个相等的实根：r1?r2 这时，我们只得到微分方程?的一个解y1?er1?x，为了得到方程的通解，我们还需y2?常数。 另求一个解y2，并且要求y1y2?u(x)，即y2?u(x)er1?x，下面来求u(x)。 设 y1 y2??u??er1?x?r1u?er1?x?er1?x(u??r1?u) y2???r1er1?x(u??r1?u)?er1?x(u???r1?u?)?er1?x(u???2r1u??r12u) q?y2?er1?xqu p?y2??er1?x(pu??pr1u) y2???er1?x(u???2r1u??r12u) r?x相加，得e1[(u???2r1u??r12u)?(pu??pr1u)?qu]?0 r?x约去e1，整理得 u???(2r1?p)u??(r12?pr1?q)u?0 p由于r1??是特征方程的二重根，因此 22r1?p?0,r1?pr1?q?0 于是， u??2?0 ?x，由此得到微分方程的另一个解 因只要得到一个不为常数的解，可取uy2?x?er1?x 从而得到微分方程?的通解为 y?c1er1?x?c2xer1?x(3)、特征方程有一对共轭复根：r1???i?,r2???i?(??0) y1?e(??i?)?x?e?x?ei?x?e?x(cos?x?isin?x) y2?e(??i?)?x?e?x?e?i?x?e?x(cos?x?isin?x)是微分方程?的两个解，根据齐次方程解的叠加原理， 有 1y1?(y1?y2)?e?xcos?x 2y2?1(y1?y2)?e?xsin?x 2i