微分方程讲义(6)

由p?dy，又得以一个一阶微分方程 dxdy??(x,c`1) dx因此，方程的通解为 y???(x,c1)dx?c2 其中c1,c2是任意常数。 (1?x2)y???2xy? 【例2】求微分方程 满足初始条件 yx?0?1,y?x?0?3 的特解。 解：设y??p，将之代入方程，得 (1?x2)?dp?2xp dx分离变量 dp2x?dx 2p1?x两边积分，得 lnp?ln(1?x2)?lnc1 p?y??c1(1?x2) 由条件从而 y?x?0?3，得c1?3 y??3(1?x2) 再积分，得又由条件y?x3?3x?c2 x?0y?1，得c2?1 故所求特解为y?x3?3x?1 注记： 求高阶方程满足初始条件的特解时，对任意常数应尽可能及时定出来，而不要待求出通解. 课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第七讲 可降阶的高阶微分方程 教学要求： 掌握可降阶的高阶微分方程解法 重 点： 掌握可降阶的高阶微分方程解法 难 点： 掌握可降阶的高阶微分方程解法 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 10分钟 2 可降阶的高阶微分方程解法 40分钟 3 例题及练习 40分钟 课后作业 参考资料 三、y???f(y,y?)型微分方程 微分方程 y???f(y,y?) 的右端不显含自变量x。 作变量替换y??p，利用复合函数求导法则，可将y??写成如下形式 dpdpdydpy??????p? dxdydxdydp方程可化成p??f(y,p)这是一个关于变量y,p的一阶微分方程，设求出它的dy通解为 p??(y,c1) dy从而有??(y,c1) dxdy分离变量?dx， ?(y,c1)dy再积分??x?c2，便可得到方程的通解。 ?(y,c1)【例3】求y?y???1?y?2的通解。 dp解：设y??p，则y???p? dydpyp?1?p2 dypdpdy分离变量，得? 2p?1ydy两边积分??? 2yp?1有 pdp1ln(p2?1)?lny?lnc1， 2p2?1?(c1y)2 p??1?(c1y)2 dy??1?(c1y)2 dx分离变量，再积分，得 ?dy?1?(c1y)2?x?c2 1ln(c1y?1?(c1y)2)?x?c2 c1其中c1(?0),c2是任意常数。 【例4】一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始落向地面，求它落到地面时的速度和所需时间( 不计空气阻力 )。 解：取连结地球中心与该物体的直线为y轴，其方向铅直向上，取地球中心在原点o。设物体的质量为m，物体下落时与地球中心的距离为l，地球半径为R，在时刻t物体所在位置为y?y(t)。 ?dy，据万有引力定律，有以下微分方程 dt??kmMy2 于是，速度v(t)m?d2ydt2其中：m为地球质量，k为引力常数，因 d2ydvdv?，??g(这里置负号是由于物体运动加速度的方向与y且当y?R时，2dtdtdt轴的正向相反)，故 R2g ?g??2 ， k?MRkM 于是方程可写成d2ydt2??gR2y2 初始条件是y?l ， y?t?0?vt?0?0 dy?v，则 先求物体到达地面的速度，由dtt?od2ydvdvdydv????v? 2dtdydtdydtdvgR2代入原方程，得v???2 dyy分离变量，得vdv??gR2y2dy 22gR2再求积分，得v??C1 y将初始条件vt?0?0,yt?0?l，代入得 2gR22gR20??c1,c1?? ll2211于是v?2gR(?) yl在式中令y?R， 得到物体到达地面时的速度v为 2gR(l?R)? l这里取负号是由于物体运动方向与y轴的正向相反。 下面再求物体落到地面所需时间 dy11?v??R2g(?) dtyl