微分方程讲义(5)

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第五章 微分方程 第五节 一阶线性微分方程 教学要求： 1.理解伯努利方程的概念和伯努利方程的解法； 重 点： 伯努利方程的解法 难 点： 伯努利方程的解法 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 伯努利方程的概念和解法40分钟 3 例题及练习 35分钟 课后 作业 参考资料 二、贝努利方程 方程 dy?P(x)?y?Q(x)?yndx叫做贝努利方程。 当n(n?0,1) ?0时，它是一阶线性非齐次微分方程 dy?P(x)?y?Q(x) dx当n?1时，它是一阶线性齐次微分方程 dy?[P(x)?Q(x)]?y?0 dx当n?0,1时，它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为一阶线性微分方程。 具体解法如下： dyn?ndy?P(x)?y?Q(x)?y?y??P(x)?y1?n?Q(x) dxdx1d(y1?n)??P(x)?y1?n?Q(x) 1?ndxd(y1?n)?(1?n)P(x)?y1?n?(1?n)Q(x) dx令y1?n?z ，方程化为关于z的一阶线性非齐次微分方程 dz?(1?n)P(x)?z?(1?n)Q(x) dx【例2】求贝努利dyy??a(lnx)y2的通解。 dxxd(y?1)11dy1??(y?1)?a?lnx 解 ：???a?lnx ，?dxxy2dxxyd(y?1)1??(y?1)??alnx dxx y?1?e1??dxx??[c???alnx?elnxdx] x?1?dxxdx] ?elnx?[c?a??lnx?e?lnxdx] ?x?[c?a??a?x?[c?(lnx)2] 2 课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第六讲 可降阶的高阶微分方程 教学要求： 1.理解定积分的元素法 2.会用元素法求解平面图形面积 重 点： 元素法求解平面图形面积 难 点： 元素法求解平面图形面积 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习定积分的概念 10分钟 2 定积分的微元法 15分钟 3 平面图形面积问题 20分钟 4 例题及练习 45分钟 课后 作业 参考 资料 一、y(n)?f(x)型的微分方程 微分方程 y(n)?f(x) 的右端仅含有自变量x，只要把y(n?1)作为新的未知函数，那么就是新未知函数的一阶微分方程，两边积分，就得到一个n?1阶的微分方程 y(n?1)??f(x)dx?c1 同理y(n?2)????f(x)dx?c1?dx?c2 依此类推，连续积分n次，便得到了方程的含有n个任意常数的通解。 【例1】求y????e2x?cosx的通解。 解：y???12e2x?sinx?c1 y??14e2x?cosx?c1x?c2 y?18e2x?sinx?12c1x2?c2x?c3 其中c1,c2,c3是任意常数。 二、y???f(x,y?)型的微分方程 微分方程 y???f(x,y?) 的右端不显含有未知函数y。 如果作变量替换y??p，则y???p? 方程可化为 p??f(x,p) 这是一个关于变量x,p的一阶微分方程，设其通解为 p??(x,c`1) 其中c1,c2是任意常数。 【例2】求微分方程 (1?x2)y???2xy? 满足初始条件 yx?0?1,y?x?0?3 的特解。