微分方程讲义(4)

dxvx?故有dyvy ??x,?y????而a?{a,0} ，b?b?PO?b? x2?y2?bxby????从而v??a?,?? 2222??x?yx?y??由此得到微分方程 ax2?y2xdx??? dybyydxa?x?x即?????1? dyb?y?y2xdxdu?u，则x?yu，?y?u，代入上面的方程有 令ydydydua2y??u?1 dybdua分离变量得??dy byu2?1a2积分得ln(u?u?1)??(lny?lnc) ba?2u?u?1?(c?y)b ， 1u?u2?1a?(c?y)b a?u?u2?1?(c?y)b aa?aa?????1?y??bbu?(c?y)?(c?y) ， x?(c?y)b?(c?y)b? ??2?2?????1以条件y?h时x?0代入上式，得C?，故鸭子游过的迹线为 ha???ay?ybyb?x?()?()2?hh??? (0?y?h) 本次课题（或教材章节题目）：第五章 微分方程 第四节 一阶线性微分方程 教学要求： 1.理解一阶线性微分方程的概念； 2．掌握一阶线性微分方程解法； 重 点： 1．常数变异法；2．一阶线性微分方程的解法 难 点： 1．常数变异法；2．一阶线性微分方程的解法 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 一阶线性微分方程45分钟 3 例题及练习 30分钟 课后 作业 参考 资料 一、线性方程 方程 dydx?P(x)y?Q(x)? 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果Q(x)?0，则方程称为齐次的； 如果Q(x)不恒等于零，则方程称为非齐次的。 首先，我们讨论?式所对应的齐次方程 dydx?P(x)y?0? 的通解问题。 分离变量得dyy??P(x)dx 两边积分得lny???P(x)dx?lnc 或y?c?e??P(x)dx 其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程?的通解。 将?的通解中的常数c换成的未知函数u(x)，即作变换 y?u?e??P(x)dx 两边乘以得P(x)?y?uP(x)e??P(x)dx 两边求导得dy?u?e??P(x)dx?uP(x)e??P(x)dxdx 代入方程?得 u?e??P(x)dx?Q(x) ， u??Q(x)e?P(x)dxu?c??Q(x)e?P(x)dxdx 于是得到非齐次线性方程?的通解 y?e??P(x)dx??c??Q(x)e?P(x)dxdx? 将它写成两项之和 y?c?e??P(x)dx?e??P(x)dx??Q(x)e?P(x)dxdx 不难发现： 第一项是对应的齐次线性方程?的通解； 第二项是非齐次线性方程?的一个特解。 由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。 【例1】求方程 dy3dx?2yx?1?(x?1)2 的通解。 ?e?解：y??232x?1dx?[c??(x?1)2e??x?1dxdx] 3?eln(x?1)2?[c??(x?1)2?e?ln(x?1)2dx] (x?1)2?[c??(x?1)?1?2dx] 1?(x?1)2?[c?2(x?1)2] 由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解