微分方程讲义(3)

把C值代入并化简，得 35t??4.652g(7?105?103h2?3h2) 【注记】 本例通过对微小量的分析，得到了微分方程。这种方法称为微小量分析法。 课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第五章 微分方程 第三节 可分离变量的微分方程 教学要求： 1．理解齐次方程的概念； 2．掌握齐次方程的解法； 重 点： 常数变异法 难 点： 常数变异法 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 齐次微分方程45分钟 3 例题及练习 30分钟 课后 作业 参考 资料 如果一阶微分方程 dydx?f(x,y) 中的f(x,y)可写成yx的函数，即f(x,y)????y??x??，称此方程为齐次方程。 例如(xy?y2)dx?(x2?2xy)dy?0是齐次方程，因为 2dy2y???y??dx?xy?yx?2xy?x?x?2?f(x,y) 1?2??y??x??在齐次方程 dydx????y??x?? 中，引入变量替换 u?yx 有y?u?x,dydx?u?x?dudx， 将它们代入齐次方程，得 u?x?du??dudx(u)?x?dx??(u)?u 分离变量，得 du?(u)?u?dxx 两边积分，得 ?dudx?(u)?u??x 求出积分后，再用yx代替u，便得所给齐次方程的隐式通解。 【例1】解方程 y2?x2dydydx?xydx 解：原方程可写成 (x2?xy)?dy??y2 dx2?y???dyy2?x???ydxxy?x2?1x因此是齐次方程，令 y?u，则 xy?u?x?于是原方程变为 dydu?u?xdxdx duu2u?x? dxu?1分离变量， 得 xduu? dxu?1两边积分，得 1dx(1?)du? uxu?lnu?C?lnx?ln(xu)?u?C 以y代替u， 得到原方程的通解 xylny??C x注记: 齐次方程的求解实际上是通过变量替换，将方程化为可分离变量的方程。 变量替换法在解微分方程中，有着特殊的作用。但困难之处是如何选择适宜的变量替换。一般来说，变量替换的选择并无一定之规，往往要根据所考虑的微分方程的特点而构造。对于初学者，不妨多试一试，尝试几个直接了当的变量替换。 【例2】求下列微分方程的通解 dy1、?x2?2xy?y2 dx 2、xy?解1、令u?y?y(lnx?lny) ?x?y,则y?u?x dydu??1 dxdx原方程化为dududu22?1?u??u?1?2?dx dxdxu?1du?u2?1??dx?arctgu?x?c?u?tg(x?c) 即x?y?tg(x?c) 解2、(xy)?令u?y(lnxy) ?xy，原方程可化为 duududxdu?lnu?????dxxulnuxulnu?dxx lnlnu?lnx?c1?lnu?ec1?x?lnxy?c?x (其中c?ec1 ) A，河宽OA?h，两岸为平行直线，水流速度为a。【例3】设河边点O的正对岸为点有鸭子从点A游向点O，设鸭子(在静水中)的游速为b(b?a)，且鸭子游动方向始终朝着点O，求鸭子游过的迹线。 ????解：设水流速度为a(a?a)，鸭子游速为b(b?b)，则鸭子实际运动速度为???v?a?b。 取O为坐标原点，河岸朝顺水方向为x轴，y轴指向对岸，设在时刻t鸭子位于点P(x,y)。 设鸭子运动速度为 ?dxdy?v?{vx,vy}??,?， ?dtdt?