大学物理习题及解答
习题一
drdrdvdv1-1 ｜?r｜与?r有无不同?dt和dt有无不同? dt和dt有无不同?其不同在哪里?试举例说明．
???r?r?r是位移的模，?r是位矢的模的增量，即?r?r2?r1，2?r1； 解：（1）
drdrds?v?dt（2）dt是速度的模，即dt. drdt只是速度在径向上的分量.
?drdrdr??r?r?（式中r?叫做单位矢）dt ∵有r?rr，则dtdtdr式中dt就是速度径向上的分量，
drdr与dt不同如题1-1图所示. ∴dt题1-1图
?dv?dvdva?dt，dt是加速度a在切向上的分量. (3)dt表示加速度的模，即
??v?v?(?表轨道节线方向单位矢）∵有，所以
??dvdv?d????vdtdtdt
dv式中dt就是加速度的切向分量.
???d??dr?与dt的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) (dt22x?yyy1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，=(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r＝，然后根
d2rdr2据v=dt，及a＝dt而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即?
?d2x??d2y??dx??dy????????dt2?????dt2??dtdt???? ???? v=及a=
2222 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？
???解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有r?xi?yj，
??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt
故它们的模即为
?dx??dy?v?v?v???????dt??dt?2x2y222而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
?d2x??d2y?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????
drv?dtd2ra?2dt
2drd2rdr与2dt误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明dt不是速度的模，而只是速度在径向上的分其二，可能是将dt22??drd?2??dr???a径?2?r?dtdt2?????。或者概括性地说，量，同样，dt也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分????前一种方法只考虑了位矢r在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率
对速度、加速度的贡献。
1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为
式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．?
1x=3t+5, y=2t2+3t-4.
?1??r?(3t?5)i?(t2?3t?4)j2m 解：（1）
(2)将t?1,t?2代入上式即有
???r1?8i?0.5j m
???r2?11j?4jm
??????r?r2?r1?3j?4.5jm
??????r?5j?4j,r?17i?16j 4(3)∵ 0???????r?r?r12i?20j?v??40??3i?5jm?s?1?t4?04∴
????drv??3i?(t?3)jm?s?1dt(4)
???v?3i?7j m?s?1 则 4??????v?3i?3j,v4?3i?7j
(5)∵ 0??????vv4?v04a????1jm?s?2?t44 ???dva??1jm?s?2dt(6)
这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。
1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
v0(m2s?1)的速率收
图1-4
解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知
222 l?h?s
将上式对时间t求导，得
2l
dlds?2sdtdt
dlds?v0,v船??dtdt
题1-4图
根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的， ∴
v绳??vdsldll???v0?0dtsdtscos? 即
lv0(h2?s2)1/2v0v船??ss或
v将船再对t求导，即得船的加速度
v船??dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtssl22(?s?)v02h2v0s??32ss
2?21-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x，a的单位为m?s，x的单位为 m. 质点在x＝0处，
s速度为10m?s,试求质点在任何坐标处的速度值．
?1dvdvdxdv??vdtdxdtdx 解： ∵
2?d??adx?(2?6x)dx 分离变量：
a?12v?2x?2x3?c两边积分得 2
v?10,∴c?50
由题知，x?0时，03?1v?2x?x?25m?s∴
?21-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3tm?s，开始运动时，x＝5 m，?v=0，求该质点在t＝10s 时的速度和位置．
dv?4?3tdt 解：∵
分离变量，得 dv?(4?3t)dt
a?积分，得 3v?4t?t2?c12
v?0,∴c1?0
由题知，t?0,032t2 故
dx3v??4t?t2dt2 又因为
3dx?(4t?t2)dt2分离变量，
1x?2t2?t3?c22积分得
v?4t?x?5,∴c2?5
由题知 t?0,0故
x?2t2?13t?52
所以t?10s时
3?102?190m?s?121x10?2?102??103?5?705m2
31-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t，?式中以弧度计，t以秒计，求：(1) t＝2 s?时，
v10?4?10?质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?
解：
??d?d??9t2,???18tdtdt
?2a?R??1?18?2?36m?st?2s? (1)时，
an?R?2?1?(9?22)2?1296m?s?2
(2)当加速度方向与半径成45角时，有
2R??R?即
οtan45??a??1an
22(9t)?18t 亦即
22??2?3t3?2?3??2.67rad9 于是角位移为9则解得
1v0t?bt2v21-8 质点沿半径为R的圆周按s＝的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧长,0，b都是常量，求：
(1)t时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于b．
dsv??v0?btdt解：（1）
t3?dv??bdtv2(v0?bt)2an??RR
(v0?bt)4222a?a??an?b?R2则
a??加速度与半径的夹角为
??arctan(2)由题意应有
a??Rb?an(v0?bt)2
2(v0?bt)4a?b?b?R2
(v0?bt)44b?b?,?(v?bt)?002R即
vt?0b时，a?b ∴当
221-9 半径为R的轮子，以匀速
v0沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点B的运动方程为x＝R(?t?sin?t)，y0/R是轮子滚动的角速度，当B与水平线接触的瞬间开始计时．此时B所在的位置为＝R(1?cos?t)，式中
原点，轮子前进方向为x轴正方向；(2)求B点速度和加速度的分量表示式．
??v
解：依题意作出下图，由图可知
题1-9图
x?v0t?2Rsin?v0t?Rsin??2cos?2(1)
?R(?t?Rsin?t)(2)
y?2Rsinsin22?R(1?cos?)?R(1?cos?t)
??dx?R?(1?cos?t)dtdy??Rsin?t)dt
dv?R?2sin?t?xdtdvy?R?2cos?t?dt ?1v1-10 以初速度0＝20m?s抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角， ?v??x??vy???ax????ay???求：(1)球轨道最高点的曲率半径R1；(2)落地处的曲率半径R2． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．
题1-10图
(1)在最高点，
v1?vx?v0cos60o an1?g?10m?s?2
又∵
an1?v21?1