3-13 设物体相对S′系沿x?轴正向以0.8c运动，如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也是0.8c，问物体相对S系的速度是多少?
v??0.8c
解: 根据速度合成定理，u?0.8c,xvx?v?0.8c?0.8cx?u??0.98cuv?0.8c?0.8c1?2x1?c2c
∴
3-14 飞船A以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船B以0.6c的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时A飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在B飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少? 解: 取B为S系，地球为S?系，自西向东为x(x?)轴正向，则A对S?系的速度
v?x?0.8c，S?系对S系的速度为
u?0.6c，则A对S系(B船)的速度为
v?0.8c?0.6cx?u??0.946cuv?1?0.481?2xc
?发射弹是从A的同一点发出，其时间间隔为固有时?t?2s，
vx?
题3-14图
∴B中测得的时间间隔为：
?t??t?1?vc2x2?21?0.9462?6.17s
3-15 (1)火箭A和B分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+x和-x方向飞行．试求由火箭B测得A的速度．(2)若火箭A相对地球以0.8c的速度向+y方向运动，火箭B的速度不变，求A相对B的速度．
v?0.8c，则A 解: (1)如图a，取地球为S系，B为S?系，则S?相对S的速度u?0.6c，火箭A相对S的速度x相对S?(B)的速度为：
vx?u0.8c?(?0.6c)??0.946cu(?0.6c)(0.8c)1?2vx1?cc2
v??0.6c，于是B相对A的速度为：
或者取A为S?系，则u?0.8c，B相对S系的速度xv?x?vx?u?0.6c?0.8c???0.946cu(0.8c)(?0.6c)1?2vx1?cc2
(2)如图b，取地球为S系，火箭B为S?系，S?系相对S系沿?x方向运动，速度u??0.6c，A对S系的速度
vx?0vy?0.8cABv?x?为,
,
,由洛仑兹变换式
相对
的速度为：
v?x?vx?u0?(?0.6c)??0.6cu1?01?2vxc
∴A相对B的速度大小为
u21?2vyc2v???1?0.6(0.8c)?0.64cyu1?2vxc
2?2v??v?x?vy?0.88c
速度与x?轴的夹角??为
tan????1.07v?x
ο???46.8
v?y
题3-15图
3-16 静止在S系中的观测者测得一光子沿与x轴成60?角的方向飞行．另一观测者静止于S′系，S′系的x?轴与x轴一致，并以0.6c的速度沿x方向运动．试问S′系中的观测者观测到的光子运动方向如何? 解: S系中光子运动速度的分量为
vx?ccos60ο?0.500c
vy?csin60ο?0.866c由速度变换公式，光子在S?系中的速度分量为
v?x?vx?u0.5c?0.6c???0.143cu0.6c?0.5c1?2vx1?cc2
光子运动方向与x?轴的夹角??满足
u21?2vy1?0.62?0.866ccv?y???0.990cu0.6c?0.5c1?2vx1?cc2
tan???v?yv?x??0.692
??在第二象限为???98.2
在S?系中，光子的运动速度为
正是光速不变．
3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c，又须对它作多少功?
解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得
2?2v??v?x?vy?cο?Ek?Ek?mc2?m0c2?m0c2(??1)?m0c2(1211?vc22?1)
?9.1?10?31?(3?108)2(1?0.1?4.12?10?16J=2.57?103eV
11??1)
(2)
??Ek?Ek?(m2c2?m0c2)?(m1c2?m0c2)?Ek21?m2c2?m1c2?m0c2(vc1222
vc) 1?9.1?10?31?32?1016(?)221?0.91?0.8
?5.14?10?14J?3.21?105eV
1?-6?3-18 ?子静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命0=2310s，若它在实验室参考系中的平均寿命?=
?1212)7310s，试问其质量是电子静止质量的多少倍? 解: 设?子静止质量为
-6
m0，相对实验室参考系的速度为v??c，相应质量为m，电子静止质量为m0e，因
???01??2,即11??2?
由质速关系，在实验室参考系中质量为：
?7??02m207?2m0e1??故
解: 设静止质量为
3-19 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几?
1??21??2 7?207??7252m?m0?207m0em0，运动质量为m，
m?m0?0.10m0由题设
m?m01??2
1由此二式得 1??∴ 在运动方向上的长度和静长分别为l和
2?1?0.1011.10
1??2?l0，则相对收缩量为：
?ll0?l0?l1?1?1??2?1??0.091?9.1%l01.10
3-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度是多少?已
-31
知电子的静止质量为9.1310kg．
?m?E0.4??2m100 mc00解: 由质能关系
0.4m0c2?E??0.4?9.1?10?31?(3?108)2/100100∴
?3.28?10?16所需电势差为2.0?10伏特
由质速公式有：
33.28?10?16?eVJ＝1.6?10?19?2.0?103eV
1??2?vcm0m0??mm0??m111???m0.41.0041?1?m0100
∴
?2?()2?1?(12)?7.95?10?3
1.0047-1v??c?2.7?10m?s故电子速度为
3-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能EK＝2.8310eV．这种电子速率比光速差多少? 这样的一个电子动量
9
是多大?(与电子静止质量相应的能量为
E0＝0.5113106eV?)
m0c2v21?2c?m0c2
Ek?解:
m0c2v211?2??2c1?Ek/m0cEk?m0c2 所以
由上式，
m0c2v?c1?()22m0c?Ek?c1?(0.51?106)2/(0.511?106?2.8?109)2 ?2.9979245?108m?s-1
c?v?2.997924580?108m?s-1?2.9979245?108?8 m?s-1
22224E?pc?mc可得 0由动量能量关系p?24E2?m0cc?24(Ek?m0c2)2?m0cc?Ek2?2Ekm0c2c1?382
?[(2.82?1018?2?2.8?109?0.511?106)?1.62?10?1.49?10?18kg?m?s?13-22
2氢原子的同位素氘(12大量能量，其反应方程为1-27
]/3?108
10He)原子核和一个中子(n)，并释放出
341H)和氚(H)在高温条件下发生聚变反应，产生氦(23H + 1H
4?→210He + n
?已知氘核的静止质量为2.0135原子质量单位(1原子质量单位＝
1.600310kg)，氚核和氦核及中子的质量分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量．
解: 反应前总质量为2.0135?3.0155?5.0290反应后总质量为4.0015?1.0087?5.0102amu
amu
质量亏损 ??m?5.0290?5.0102?0.0188amu
?3.12?10?29kg
2?2982?E??mc?3.12?10?3?10由质能关系得? ?2.81?10?21J?1.75?107eV m3-23 一静止质量为0的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c和0.8c．求裂变过程的静质量亏损和释放出的动
??能．
解: 孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损． 设裂变产生两个粒子的静质量分别为10和20，其相应的速度v1?0.6c,v2?0.8c 由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有
mm??m1v1?m2v2?m10v121?2cm10?v1?m202v21?2c?v2?0
m1?m2?1?vc212?m201?vc222?m0
注意m1和m2必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以v1?0.6c,v2?0.8c代入，将上二方程化为：
m10m2068??m0m10?m2086，0.80.6
上二式联立求解可得：
m10?0.459m0, m20?0.257m0
故静质量亏损
?m?m0?(m10?m20)?0.284m0由静质量亏损引起静能减少，即转化为动能，故放出的动能为?
?Ek??mc2?0.284m0c2
3-24 有A，B两个静止质量都是
m0的粒子，分别以v1=v,v2=-v的速度相向运动，在发生完全非弹性碰撞后合并
为一个粒子．求碰撞后粒子的速度和静止质量．
解: 在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别m1和m2，碰撞后粒子的质量为M、速度为V，于是，根据动量守恒和质量守恒定律可得：
m1v1?m2v2?MV ①
m1?m2?M ②
v?v1?()21?()2cc由于
代入①式得 V?0
2m0M?m1?m2v1?()2c，即为碰撞后静止质量．
3-25 试估计地球、太阳的史瓦西半径．
m1v1?m2v2?m0v?m0(?v)?0
2GMc2 解: 史瓦西半径
24M?6?10kg 地球：
rs?2?6.7?10?11?6?1024?3rs??8.9?10m82(3?10)则：
30太阳： M?2?10kg
2?6.7?10?11?2?10303rs??3?10(3?108)2则： m
3-26 典型中子星的质量与太阳质量M⊙＝2310kg?同数量级，半径约为10km．若进一步坍缩为黑洞，其史瓦西半
30
径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10cm)，质量是什么数量级?
3r?3?10sm 解: (1)史瓦西半径与太阳的相同，
?15r?10cm ?10?17m s(2)
-15
2GMc2 由
rsc210?17?(3?108)2M???6.7?109?11kg 2G2?6.7?10得
rs?3-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证．
解: 广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理．
等效原理又分为弱等效原理和强等效原理．弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验 都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．
广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同．
广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等．
习题四
4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动；
(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)．
题4-1图